（挑战压轴）专项1.2 锐角三角函数实际应用-母子型-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

（挑战压轴）专项1.2 锐角三角函数实际应用-母子型 【方法技巧】 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高 1．（2021春•丽水月考）如图，小梦要测量学校旗杆的高度BD，在点A处测得∠BAD＝45°，在点C处测得∠BCD＝60°．已知AC＝8米，点A、C、D在同一直线上，则旗杆的高度BD为（　　） A．（4+4）米 B．（7+7）米 C．（14+14）米 D．（4+12）米 【答案】D 【解答】解：在Rt△ABD中， ∵∠BAD＝45°， ∴∠ABD＝∠BAD＝45°． ∴BD＝AD． 在Rt△CBD中， ∵tan∠BCD＝＝tan60°． ∴CD＝＝＝BD． ∵AC＝AD﹣CD， ∴BD﹣BD＝8． ∴BD＝ ＝ ＝12+4． 故选：D． 2．（2021秋•城阳区校级期中）如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为4米，则原来斜坡的水平距离CD的长度是（　　）米． A．2 B．4 C．2 D．6 【答案】A 【解答】解：设CD＝x米，BD＝y米， 在Rt△BCD中，BD2＝BC2﹣CD2，即y2＝42﹣x2， 在Rt△BAD中，BD2＝AB2﹣AD2，即y2＝（4）2﹣（x+4）2， ∴42﹣x2＝（4）2﹣（x+4）2， 解得：x＝2，即CD＝2米， 故选：A． 3．（2021春•怀化期中）如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了28米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则树的高度是 　　． 【答案】14米 【解答】解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°， ∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°， ∴∠ACB＝∠CAD， ∴AD＝CD＝28（米）， 又∵∠ABD＝90°， ∴AB＝AD＝14（米）， ∴树的高度为14米． 故答案为：14米． 4．（2022•汇川区一模）如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则计算出树的高度是 　　米． 【答案】10 【解答】解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°， ∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°， ∴∠ACB＝∠CAD， ∴AD＝CD＝20（米）， 又∵∠ABD＝90°， ∴AB＝AD＝10（米）， ∴树的高度为10米． 故答案为：10． 5．（2022•禅城区校级二模）某商场从安全和便利的角度出发，提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式．如图，已知商场的层高AD为6m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为16°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC相比改造前AB增加的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AD＝6m， ∴AB＝2AD＝12m， 在Rt△ACD中，∠ACD＝16°，AD＝6m， ∴AC＝≈≈21.42（m）， 则AC﹣AB＝21.42﹣12≈9.4（m）， 答：改造后的斜坡式自动扶梯AC相比改造前AB增加的长度约为9.4m． 6．（2022•新都区模拟）2022年冬季奥运会在北京举行，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场高级雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB＝200m，BC＝300m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为37°，求从点A运行到点C垂直上升的高度．（结果保留整数：参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 【解答】解：在Rt△ABD中， ∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝200m， ∴BD＝AB＝100m， 在Rt△BCE中， ∵∠BEC＝90°，∠CBE＝37°，BC＝300m， ∴CE＝BC•sin37°≈300×0.6＝180（m）， ∴CF＝EF+CE＝BD+CE≈100+180＝280（m）， 答：从点A运行到点C垂直上升的高度约为280m． 7．（2021秋•双牌县期末）如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24） 【解答】解：由题意知，四边形CDBM、CDEF、EFMB是矩形， ∴BM＝