（挑战压轴）专项1.1 锐角三角函数实际应用-背靠背模型-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

（挑战压轴）专项1.1 锐角三角函数实际应用-背靠背模型 【方法技巧】 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高 1．（2022秋•长春期中）如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（　　） A．900m B．900m C．900m D．1800m 【答案】B 【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBE＝180°﹣150°＝30°，∠BCE＝150°﹣90°＝60°， 又∵∠BCD＝105°， ∴∠DCE＝105°﹣60°＝45°， 在R△BCE中，∠CBE＝30°，BC＝1800m， ∴CE＝BC＝900（m）， 在Rt△CDE中，∠DCE＝45°， ∴CD＝CE＝900（m）， 故选：B． 2．（2021秋•任城区期中）如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足sinA＝，则斜道AC的长度是（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝10米，sinA＝， 则＝，即＝， 解得：AC＝30（米）， 故选：B． 3．（2021•广西模拟）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，作OH⊥AB于H． 由题意：AB＝8，OA﹣OH＝3， ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH＝4， ∵AH2+OH2＝OA2， ∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH）， ∴OA+OH＝， ∴OA＝，OH＝， ∴cos∠OAB＝＝＝， 故选：B． 4．（2020秋•邵东市期末）如图是拦水坝的横断面，堤高BC为6米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．24米 【答案】B 【解答】解：∵斜面坡度为1：2，BC＝6m， ∴AC＝12m， 则AB＝（m）． 故选：B． 5．（2021•商河县校级模拟）如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（　　） A．55m B．60m C．65m D．70m 【答案】C 【解答】解：∵DE＝20m，DE：AE＝4：3， ∴AE＝15m， ∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2， ∴BF＝40m， ∴AB＝AE+EF+BF＝15+10+40＝65m． 故选：C 6．（2022•青山区模拟）如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC，若BC＝100m，∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 　 　m（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）． 【答案】60 【解答】解：∵∠ADC＝90°，∠C＝45°， ∴∠CAD＝45°， ∴AD＝CD， 设AD＝xm，则CD＝xm， ∵BC＝100m， ∴BD＝（100﹣x）m， ∵∠B＝56°，tanB＝， ∴tan56°＝＝≈1.5， ∴x≈60， ∴游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为60m， 故答案为：60． 7．（2022•和县二模）如图1是坐落在西河之畈的黄金塔，建于宋咸平元年即公元998年，为我省现存年代最早的古塔建筑，是第七批全国重点保护文物单位，塔九层六角．九年级数学兴趣小组开展了测量“黄金塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，黄金塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，B，D在同一条直线上）．数据收集通过实地测量地面上A，B两点的距离为55m，∠CAD＝37°，∠CBD＝63.4°．问题解决求黄金塔CD的高度，（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【解答】解：设BD＝x米， ∵AB＝55米， ∴AD＝AB﹣BD＝（55﹣x）米， 在Rt△CDB中，∠CBD＝63.4°， ∴CD＝BD•tan63.4°≈2x（米）， 在Rt△ACD中，∠C