专题17 同构法在解析几何中的应用-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题17 -----同构法在解析几何中的应用 【专题导航】 在教学导数的综合性问题时，教辅资料的编写和老师们教学一般都会涉及同构变形的专题，但在解析几何中就莫有涉及同构的专题.实际上，同构思想在解析几何中也有较广泛的应用.本专题就针对这个盲点，从四个方面进行总结，抛砖引玉，供同仁们交流探讨. 题型一 主参换位同构方程 罗师导航 “横看成岭侧成峰，远近高低各不同!”同一方程变化“元”与“系数”的关系构造方程，情理其中，意料之外，妙用无穷！ 【例1-1】已知直线l：(a＋b)x＋(a－b)y＋2＝0，其中a，b满足3a－b＋2＝0.求证：直线l恒过一定点． 证明：因为(a＋b)x＋(a－b)y＋2＝0，所以（x+y)a+(x-y)b+2=0. 因为3a－b＋2＝0,所以,解得，所以直线l恒过一定点（1,2）. 【能力达标训练】 【1-1】已知实数满足，直线：，求直线经过的定点的坐标. 证明：因为，所以-2a+b+c=0.因为,所以,所以直线l恒过一定点（-2,1）. 题型二 点坐标与方程的关系同构方程 罗师导航 如果点A（x1,y1)和点B（x2,y2)满足二元一次方程，且方程为同构式，则该方程为直线AB的方程. 【例2-1】【2019全国III理21】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB过定点. 【解析】设，则. 由于，所以切线DA的斜率为，故 ，整理得 设，同理可得.故直线AB的方程为. 所以直线AB过定点. 【例2-2】（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； （2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为，即，即， 同理可知，直线的方程为， 由于点为这两条直线的公共点，则， 所以，点、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 联立，可得，由韦达定理可得，， 所以，， 点到直线的距离为， 所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. 则过与圆相切的直线为， 又， ，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切； 若直线斜率均存在，则， 所以直线方程为，整理得， 同理直线的方程为，直线的方程为， 与圆相切，整理得， 与圆相切，同理 所以为方程的两根， ， 到直线的距离为：， 所以直线与圆相切； 综上若直线与圆相切，则直线与圆相切. 【能力达标训练】 【2-1】如图，设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，求证：直线过某一个定点. 解：设，的斜率为 则，联立方程消去可得： ，整理可得： ，因为与双曲线相切 所以 代入可得： 即 ，即 同理，切线的方程为 在切线上，所以有 满足直线方程，而两点唯一确定一条直线 所以当时，无论为何值，等式均成立 点恒在直线上，故无论在何处，恒过定点. 【2-2】在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为. (1)求，的方程： (2)设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明； (3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1)，；(2)只有一个公共点，证明见解析；(3)证明见解析，2 【分析】（1）由题知双曲线焦点在轴上，椭圆焦点在轴上，再设出方程，待定系数求解即可； （2）联立方程，结合解方程判断即可； （3）设，，进而结合（2）中的结论得直线的方程为，再与双曲线的渐近线联立，求解，计算点到直线的距离，进而计算面积即可. 【解析】（1）解：由题，双曲线的顶点为，所以双曲线焦点在轴上， 设双曲线方程为， 因为的一条渐近线为，所以，，解得， 所以双曲线方程为，又因为椭圆的短轴长为2，所以椭圆焦点在轴上， 设椭圆方程为，所以，，.即椭圆方程为. （2）解：根据题意，联立方程得 又因为，所以，， 所以，变形为，解得. 所以，方程组只有一解；所以，直线与椭圆只有一个公共点. （3）解：设， 由（2）知，直线与椭圆只有一个公共点. 所以，直线是过点的椭圆的切线方程. 所以，直线方程为，点在直线上，故 直线方程为，点在直线上，故 所以，直线的方程为，即. 由得， 由得 所以 又点到直线的距离，又 所以，所围三角形面积为定值. 【点评】本题第三问解题的关键在于结合（1）中的结论，得到过点，的切线方程，进而得直线的方程，再与双曲线的渐近线联立放求解得，，再计算面积即可. 【2-3】已知抛物线的焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)若点在上，，是