2.4 二次函数的应用（第一课时 几何图形最值）-【高效课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)

数学（北师大版） 九年级 下册 2.4 二次函数的应用 （第一课时 几何图形最值） 第二章 二次函数 知识点回顾 如何求出二次函数y=ax2+bx+c(a) 的最小(大)值？ = 一般抛物线 y = ax 2 + bx + c (a) 的顶点是最低(高) 点， 当x= - 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小(大) 值y= . 课前导入 学习目标 1）学会用二次函数解决几何图形最值问题。 2）让学生根据实际问题构建数学模型。 重点 掌握用二次函数求最值解决实际问题。 难点 根据实际问题构建数据模型。 情景引入 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. (1)设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少? ∵四边形ABCD是矩形 ∴DC‖AN, 所以∆MDC ~ ∆MAN ,则= = 当x为20 m时，矩形面积取得最大值，最大面积为300 m2 探索与思考 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. 设矩形的一边AF=x m, 设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少? A B C D F E G 30 40 ∵∆BAG ~ ∆FEG(证明过程略) ∴ = = 则AB = (40-x) 矩形面积为S= *(40-x)= - [(x-20)2-400] 当且仅当x=20时，面积最大，为300平方米，此时矩形的边长分别为25m和12m 情景引入 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 解： 即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m2. 随堂基础练 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化。当x是多少时，场地的面积S最大，最大面积是多少？ 矩形区域 x x 根据题意列方程：S=x(30-x) 整理后得：S=(0<x<30) 当x=-=15时，S= =225 ㎡ 当矩形一边长为15m时，场地的面积取最大值，且最大值为225 ㎡ 随堂基础练 如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少? 课堂小结 【规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值. 随堂测试 1. 把一根长的铁丝分成两段，每一段弯曲成一个正方形，面积和最小是（       ） A． B． C． D． 【详解】解：设其中的一段长为，面积和为，则另一段长为，且，面积和为 ∵，开口向上， ∴时，有最小值，为， 故选：C 随堂测试 2．如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？ (2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米． 【详解】（1）解：设AB的长为x厘米，则有厘米， 由题意得：，整理得：，解得：， ∵，∴，∴都符合题意， 答：AB的长为8厘米或12厘米． （2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有： ， ∵，且，∴当时，S有最大值，即为； 故答案为：150． 随堂测试 3．如图，用长为24m的篱笆围成一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m）、且中间隔有一道篱笆的长方形花圃，则围成的花圃的面积最大为_____m2． 【详解】 解：设AB的长为xm，则BC为24-3x，且x＞0，0＜24-3x≤9，可得5≤x＜8， 由题意得:S= =（5≤x＜8），| 抛物线开口向下,对称轴为x=4，又因为5≤x＜8，当x=5时，S有最大值， 当x=5时，S有最大值为：=45， 故答案：45. 随堂测试 4．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 【详解】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450， 解得x1=5，x2=45， 当x=5时，100﹣2x=90