第四章 4.2 4.2.3 第二课时　对数函数性质的应用（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

第二课时　对数函数性质的应用 课程标准 学科素养 1.理解并掌握对数函数的性质． 2．会利用对数函数的单调性比较大小，解简单的对数不等式． 通过对数函数图象与性质的理解与应用，强化逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P22] 当a>1时，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数； 当0<a<1时，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数． 1．思考辨析 (1)log3x<0，则x的取值范围是 (0，1).(　　) (2)当a>0，且a≠1时，loga3>loga2.(　　) (3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．下列四个数中最大的是(　　) A.(ln 2)2　　　　　　　　 B．ln(ln 2) C.ln D．ln 2 D　解析：∵y＝ln x为增函数， ∴0<ln <ln 2<1<， ∴ln(ln 2)<ln <ln 2<1， 且(ln 2)2<ln 2.故ln 2最大． 解简单的对数不等式logaf(x)>logag(x) 当a>1时，有f(x)>g(x)>0；当0<a<1时，0<f(x)<g(x)． 1．(教材改编)已知log0.52m<log0.5(m－1)，则m的取值范围是________． (1，＋∞)　解析：∵log0.52m<log0.5(m－1)， ∴2m>m－1>0，解得m>1. 2．若实数a满足loga2>1，则实数a的取值范围是________． (1，2)　解析：当a>1时，loga2>1＝logaa. ∴2>a.∴1<a<2. 当0<a<1时，loga2<0.不满足题意． [对应学生用书P23] 比较下列各组数的大小． (1)log与log；(2)log3与log3； (3)loga2与loga3；(4)log3π，logπ3. 解：(1)y＝logx在(0，＋∞)上递减， 又因为<，所以log>log. (2)因为在x∈(1，＋∞)上，y＝logx的图象在y＝logx图象的上方，所以log3<log3. (3)当a>1时，y＝logax为增函数， 所以loga2<loga3. 当0<a<1时，y＝logax为减函数， 所以loga2>loga3. (4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1.同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3. 对数值比较大小的常用方法 (1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，那么要分类讨论； (2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量； (3)如果不同底但同真数，可利用图象的高低与底数的大小关系来解决或利用换底公式化为同底再进行比较； (4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较； (5)当要比较的两数的底数为字母需要进行分类讨论时，要做到分类不重不漏 [训练1]　比较下列各组数的大小： (1)loga2.7，loga2.8； (2)log34，log65； (3)log0.37，log97. 解：(1)当a>1时，由函数y＝logax的单调性可知loga2.7<loga2.8，当0<a<1时，同理可得loga2.7>loga2.8. (2)log34>log33＝1，log65<log66＝1， ∴log34>log65. (3)log0.37<log0.31＝0，log97>log91＝0， ∴log0.37<log97. 解不等式：loga(x－4)>loga(x－2). 解：当a>1时，由无解． 当0<a<1时，由得x>4. ∴综上可知：当a>1时，不等式的解集为∅； 当0<a<1时，不等式的解集为(4，＋∞). 常见的对数不等式有三种类型 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解 [训练2]　若－1<loga<1，求a的取值范围． 解：－1<loga<1⇔loga<loga<logaa. 当a>1时，<<a，∴a>. 当0<a<1时，>>a，∴0<a<. ∴a的取值范围是∪. 探究三　函数y＝logaf(x)的单调区间的求法 求函数f(x)＝loga(2x2－3x－2)的单调区间． 解：由2x2－3x－2>0得函数f(x)的定义域为 . ①a>1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数． ②0<a<1时，t＝2x2－3x－