第四章 4.2 4.2.1 对数运算（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

4．2　对数与对数函数 4．2.1　对数运算 课程标准 学科素养 1.通过实际问题，理解对数的概念． 2．利用对数与指数的关系，求对数值． 通过对对数运算的学习，加强数学抽象、数学运算的核心素养． [对应学生用书P12] 1．在表达式ab＝N(a＞0，且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． 2．对数与指数的关系 当a＞0且a≠1，N>0时，b＝logaN的充要条件是ab＝N． 1．2m＝3化成对数式是(　　) A．m＝log32　　　　　 B．m＝log23 C．2＝log3m D．2＝logm3 答案：B 2．log54＝a化成指数式是(　　) A．54＝a　　　　　　　 B．45＝a C．5a＝4 D．4a＝5 答案：C 3．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 答案：D 1．以10为底的对数称为常用对数，即log10N是常用对数，简写为lg_N． 2．以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作ln_N． 1．lg 7与ln 8的底数分别是(　　) A．10，10　　 B．e，e　　 C．10，e　　 D．e，10 答案：C 2．lg 100＝________． 2　解析：lg 100＝lg 102＝2. 1．负数和0没有对数； 2．1的对数是0，即loga1＝0(a＞0且a≠1)； 3．底数的对数是1，即logaa＝1(a＞0且a≠1)； 4．对数恒等式：alogaN＝N. 1．(教材改编)ln 的值是________． 　解析：设ln ＝x，则ex＝，∴ex＝，∴x＝. 2．方程log5(1－2x)＝1的解x＝________． －2　解析：由1－2x＝5，解得x＝－2. [对应学生用书P13] (1)将下列指数式化成对数式： ①()3＝；②3－2＝；③43＝64；④()x＝3. (2)将下列对数式写成指数式： ①log28＝3；②＝2；③logaa2＝2(a＞0，且a≠1)； ④log3＝－3. 解：(1)①3＝.②－2＝log3. ③3＝log464.④x＝. (2)①23＝8.②()2＝.③a2＝a2(a＞0，且a≠1). ④3－3＝. 1．logaN＝b与ab＝N(a＞0且a≠1，N＞0)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系．可以利用其中两个量表示第三个量． 2．对数式与指数式的关系如图： [训练1]　将下列对数式化为指数式： (1)log216＝4；(2) ＝－3；(3)logx＝6. 解：(1)24＝16.(2)()－3＝27.(3)()6＝x. 求下列各式中x的值： (1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；(3) ＝x； (4)logx27＝；(5)lg 0.01＝x. 解：(1)∵4x＝5·3x，∴＝5，∴()x＝5，∴x＝. (2)∵log7(x＋2)＝2，∴x＋2＝72＝49，∴x＝47. (3)∵＝x，∴()x＝，∴()x＝()－2， ∴x＝－2. (4)∵logx27＝， (5)∵lg 0.01＝x，∴10x＝0.01＝10－2，∴x＝－2. 对于对数式b＝logaN的求值一般有三种情况 (1)若未知数是N，则用N＝ab求． (2)若未知数是a，则先化为ab＝N，再用a＝求． (3)若未知数是b，一般结合对数的定义求得． [训练2]　求下列各式中x的值： (1)logx4＝2；(2)log28＝x. 解：(1)∵logx4＝2，∴x2＝4，又x>0且x≠1，∴x＝2. (2)∵log28＝x，∴2x＝8＝23，∴x＝3. 求下列各式中x的值： (1)log2(log4x)＝0；(2)log3(lg x)＝1； (3)ln [log2(lg x)]＝0. 解：(1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1，∴x＝41＝4. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000. (3)∵log2(lg x)＝1，∴lg x＝21＝2，∴x＝102＝100. 涉及两个以上对数，方法由外向里，逐层解决，其中将1或0化成同底对数，有利于去掉log，从而最终解出x. [训练3]　求值：(1)ln (lg x)＝1；(2)log2(log5x)＝0. 解：(1)∵ln (lg x)＝1，∴lg x＝e，∴x＝10e. (2)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5. 计算： 解：(1)原式＝ [变式]　计算：. 解： ＝3×5－16×3