第四章 4.1 4.1.2 第二课时 指数函数性质的应用（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

第二课时　指数函数性质的应用 课程标准 学科素养 1.通过具体的指数函数，归纳总结指数函数的性质、单调性及特殊点． 2．会利用指数函数的性质和图象解决与指数函数有关的问题． 通过对指数函数性质的学习，进一步提升数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P8] 当a>1时，函数y＝ax在R上为增函数； 当0<a<1时，函数y＝ax在R上为减函数． 1．思考辨析 (1)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(　　) (2)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　) (3)若()a>，则a>b .(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)× 2．(教材改编)已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是________． c>a>b　解析：∵y＝0.8x是减函数，∴0<b<a<1. 又∵c＝1.20.8>1，∴c>a>b. 对于形如af(x)>ag(x)(或af(x)<ag(x))的不等式， 当a>1时，转化为f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))； 当0<a<1时，转化为f(x)<g(x)(或f(x)>g(x)). 1．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　) A．(－1，1)　　　　　 B．(－1，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) D　解析：∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0， ∴x<－1. 2．设23－2x＜0.53x－4，则x的取值范围是________． (－∞，1)　解析：∵0.53x－4＝()3x－4＝24－3x， ∴由23－2x＜24－3x，得3－2x＜4－3x，∴x＜1. 函数f(x)＝kag(x)＋b(k，a，b均为常数，且k≠0，a>0，且a≠1) 恒过定点(m，k＋b)(满足g(m)＝0). 1．函数y＝ax－1－3的图象恒过定点坐标是(　　) A．(1，－3) B．(1，－2) C．(2，－3) D．(2，－2) B　解析：令x－1＝0，得x＝1， 此时y＝a0－3＝1－3＝－2， ∴函数y＝ax－1－3恒过定点(1，－2). 2．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________． 　解析：作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0. [对应学生用书P9] 比较下列各组数的大小： (1)1.82.2，1.83；(2)0.7－0.3，0.7－0.4；(3)1.90.4，0.92.4；(4)0.60.4，0.70.4. 解：(1)∵1.82.2，1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，又∵1.8>1， ∴函数y＝1.8x在R上为增函数． 故1.82.2<1.83. (2)∵函数y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4. (3)∵1.90.4>1.90＝1，0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4. (4)∵在y轴右侧函数y＝0.6x的图象在函数y＝0.7x的图象的下方，∴0.60.4<0.70.4. 三类指数式的大小比较问题 (1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可． (3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法).取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用指数函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图象比较大小． [训练1]　比较下列两组数的大小： (a－1)1.3与(a－1)2.4(a＞1且a≠2). 解：由于a＞1且a≠2，所以a－1＞0且a－1≠1， 若a－1＞1即a＞2，则y＝(a－1)x是增函数， ∴(a－1)1.3＜(a－1)2.4， 若0＜a－1＜1，即1＜a＜2，则y＝(a－1)x是减函数， ∴(a－1)1.3＞(a－1)2.4. 解下列关于x的不等式： (1)()x＋5≤16； (2)a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1). 解：(1)∵()x＋5≤16，∴2－x－5≤24. ∴－x－5≤4，∴x≥－9. 故原不等式的解集为{x|x≥－9}． (2)当0<a<1时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6. 当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. 综上所述， 当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}； 当a>1时，不等式的解集为{x|x