专题17 手拉手旋转模型证相似-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题17 手拉手旋转模型证相似 1．如图1，是四边形内一点，连接，，，，，，，，． （1）求证：． （2）若，．求的长． （3）如图2，，，，请直接写出，，之间的数量关系． 【解答】（1）证明：，，， 与都是等腰直角三角形， ， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， （3）解：，理由如下： 如图，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， 同理，，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．已知中，，．点是线段（含端点）上一动点．连接线段，将线段绕点逆时针旋转角度．得到线段，连接线段、． （1）如图1，若且点与重合，为线段的中点，连接线段．求证：； （2）如图2，若点不与点重合，其它条件同（1），，，求线段的长度． 【解答】（1）证明：连结，如图 ，，， 和是等腰直角三角形， ， ， ， 是的中点， ， 是等腰直角三角形， ； （2）解：延长至使，连结、，在上取点，使，则，如图 ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ，即， 是的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 3．在和中，，，．、分别为、的中点，连接、． （1）如图1，当时，的值是 　　，直线与直线相交所成的较小角的度数为 　　； （2）如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数； （3）如图3，当时，若点为的中点，点在直线上，请直接写出点、、在同一直线上时的值． 【解答】解：（1）如图1，连接，并延长交于，设直线与的交点为， ，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ，， 、分别为、的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）如图2，连接，并延长交于，设直线与的交点为，过点作于， ，， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，， ，， ， ，， ， 、分别为、的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， 直线与直线相交所成的较小角的度数为； （3）如图3，当点在线段上时，连接，， ，点为的中点， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ，， ， ，， ， 、分别为、的中点， ，， ， 又点是中点， ， ， ， 当点在线段上时，同理可求， 综上所述：的值为或． 4．（1）如图①，将绕点旋转任意角度得到△，连接、，证明：． （2）如图②，四边形和四边形均为正方形，连接，，求的值． 【解答】证明：（1）将绕点旋转任意角度得到△， ，，， ， ， ； （2）连接和， 四边形和四边形均为正方形， ，，， 则， ，， ． ． ． 5．如图，与有公共的顶点，，，且．点、、分别为、、的中点． （1）如图1，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）．连接、， ，， ，， ， ； 点、、分别为、、的中点， 根据中位线定理可得，， ． （2）．连接、， ，， ，， ， ， 点、、分别为、、的中点， 根据中位线定理可得，， 即得． 6．为等边三角形，为边上一点，为射线上一点，，，，，． （1）求证：； （2），且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，若，求的长． 【解答】（1）证明：如图1中，延长到，使得，连接． ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． （2）解：如图2中，取的中点，连接，作于，于． 由（1）可知， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 设，则，，， 在中，， ， ， ，， ，即， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ． 7．在边长为1的正方形网格中有、、、、五个点，问与是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由． 【解答】解：，，， ，，，， ， ， ， ，． 8．如图，，绕点逆时针旋转得到，恰好点在上，连接． （1）与有何关系？并说明理由； （2）与有何关系？并说明理由； （3）线段与在位置上有何关系？为什么？ 【解答】解：（1）与互补； 理由如下： 由旋转的性质知：， ； 即，因此、互补． （2）与相似； 理由如下： 由旋转的性质知：，，； 即，， 即； 因此． （3）线段与互相垂直， 理由如下： 由（2）知：； ， ， 即线段、互相垂直． 9．在中，，，，为边上一点，点，分别在边，上，． （1）如图1，当为中点时，　　； （2）如图2，若，求的值． 【解答】解：（1）过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为中点， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ，， ， ，