专题15 一线三等角证相似-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题15 一线三等角证相似 1．如图，正方形的边长为4，是上一点，过点作，交于点，连接，则的最小值是　　 A．5 B． C． D．3 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 此时， 在中，， 当时，取最小值， ， 的最小值是5， 故选：． 2．如图，平面直角坐标系中，，点为轴上一点，连接，，点，为，的中点，点为射线上一个动点．当为直角三角形时，点的坐标为　　 A．或， B．或， C．或， D．或， 【解答】解：， ， 在中，， ， ， 点，为，的中点， ，，， 分两种情况： 当，点为的中点， ， ， ，， 当时，过点作轴，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为，或， 故选：． 3．如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是　　 A．4 B． C． D．5 【解答】解：， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ． 故选：． 二．填空题（共7小题） 4．如图，在中，，，，分别是，上的动点（点与，不重合），且，若，则的长为 　6　． 【解答】解：， ， ， 又， ， 又，， ， ， ，即， 解得． 故答案为：6． 5．如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处．设， （1）若点恰为边的中点，则　2　． （2）设，则关于的函数表达式是 　　． 【解答】解：（1）点为边的中点， ， 四边形是矩形， ，， ， 由折叠得： ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）由（1）可得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．如图1，在矩形中，，．第一步，如图2，在边上找一点，将矩形沿折叠，点落在边上点处；第二步，如图3，在上找一点，将沿折叠，得到，点落在上，则的长为 　　． 【解答】解：如图，过点作于点，交于点， 由第一步折叠可得： ， 四边形是正方形， ， 由第二步折叠可得： ，，， ，， 四边形是矩形， ， 设，可得： ，， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或， ， 舍去， ， ， 故答案为：． 7．如图，的半径为3，，两点在上，点在内，，．如果，那么的长为 　1　． 【解答】解：如图，连接，作交的延长线于，作交的延长线于．则四边形是矩形． ， 、、、四点共圆， ， ， ， 设，， 在中，， 解得（负根已经舍弃）， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为1 8．如图，正方形的边长为3，线段长度为3，图①所示为线段的初始位置，点与点重合，点与点重合．过点作，交于点，过点作于点．如图②，在保证线段长度不变的前提下，点沿向下滑动，当点移动至线段的三等分点时，线段的长度为 　或　． 【解答】解：在正方形中， ， ， 又 四边形为矩形 正方形的边长为3，线段长度为3， 当点移动至线段的三等分点时，有两种情况： ①，， 则在中， ， 在中， ②， 则在中， ， 在中， 综上所述线段的长度为或． 故答案为：或． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，已知点． （1）当直线经过点时，　2　； （2）设点为线段的中点，连接，，若，则的值是　　． 【解答】解：（1）当直线经过点时，点与点重合， 当时，，即， 故答案为2． （2）作，连接．则，如图， 由可得，． ，， 当时，． 理由：， ， ， ． 所以，即， 解得． 故答案是：12． 10．如图，在正方形中有一个面积为的小正方形，其中点、、分别在、、上，若，则正方形的边长为 　4　． 【解答】解：小正方形的面积为 的边长为 在中，由勾股定理得： 在正方形和小正方形中 ， 即正方形的边长为4． 故答案为：4． 三．解答题（共7小题） 11．如图，已知正方形的边长为1，为边上的一个动点，作交于点． （1）求证：． （2）设，，求与之间的函数表达式． 【解答】解：（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中，，， ． （2）正方形的边长为1， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 12．已知，在中，，，在、上分别取点、，若，且能在上找到点使，求的取值范围． 【解答】解：在中，，， ， 又 设，，则， 整理得： 当时，取最小值； 当点与点重合，即时，的值最大， 当时， 的取值范围为：． 13．如图，点是的中点，，，，连接，求的值． 【解答】解：，，， ． ， ， ． 点是的中点， ． ． ， ． ． 14．如图，等边的边长为6，点、分别是边、上一点，将射线绕点顺时针旋转，点的对应点为，射线交于点． （1）当，，时，　　； （2）若，． ①当时，求线段的长； ②若点刚好落在上，求的长； （3）若，，当时，直接写出点到直线的距离的取值范围 　　． 【解答】解：（1