专题14 分式阅读材料问题- 2022-2023学年八年级上册初二数学【中考快递】同步检测举一反三（人教版）

259 八年级 上册 RJ 专题十四 分式阅读材料问题 例题 定义:对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分 式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”. 例如:像x+1 x-1 ,x 2 x-2 ,…这样的分式是假分式;像 2x x3+1 ,4 x-2 ,…这样的分式是真分式. 假分式可以化为整式与真分式的和的形式. 例如:x+1 x-1= (x-1)+2 x-1 = x-1 x-1+ 2 x-1=1+ 2 x-1. (1)将分式 x-1 x+2 化为整式与真分式的和的形式; (2)如果分式 2x2-1 x-1 的值为整数,求x 的整数值. 练习 1.阅读下面材料: 把一个分式写成两个分式的和,叫做把这个分式表示成“部分分式”. 例如:将分式1-3x x2-1 表示成部分分式. 解:设1-3x x2-1 = M x+1+ N x-1. 将等式右边通分,得M (x-1)+N(x+1) (x+1)(x-1) = (M+N)x+(N-M) x2-1 . 根据题意,得 M+N=-3 , N-M=1. 解得 M=-2,N=-1. ∴ 1-3x x2-1 = -2 x+1+ -1 x-1. (1)将分式 5x-2 x2-4 表示成部分分式; (2)将分式 5x-4 (x-1)(2x-1) 表示成部分分式. 260 八年级 上册 RJ 2.阅读材料,并完成下列问题: 已知分式方程:①x+ 2 x=3 ,②x+ 6 x=5 ,③x+ 12 x=7. 其中,方程①的解有2个:x=1或x=2;方程②的解有2个:x=2或x=3;方程③的解有2个: x=3或x=4. (1)观察上述方程的特点,再观察方程的2个解与方程左边分式的分子、右边常数的关系,猜想 方程x+ 30 x=11 的解是 ; (2)关于x 的方程x+ 2 020 x =101+ 100 m 有2个解,它们是x=101或x= 100 m ,根据所猜想的规 律,求m 的值. 3.阅读下面的解题过程: 已知 x x2+1 = 1 2 ,求 x 2 x4+1 的值. 解:由 x x2+1 = 1 2 可知,x≠0. ∴ x2+1 x =2 ,即x+ 1 x=2. ∴ x4+1 x2 =x2+ 1 x2 =(x+ 1 x ) 2 -2=22-2=2. ∴ x2 x4+1 = 1 2. 该题的解法叫作“倒数法”. 请你利用“倒数法”解下面的题目: (1)已知 x x2-3x-1 = 1 5 ,求 x 2 x4+x2+1 的值; (2)已知a,b,c为实数,且 ab a+b= 1 3 ,bc b+c= 1 4 ,ac a+c= 1 5 ,求 abc ab+bc+ac 的值. 108 八年级 上册 RJ 解得y= ah-h at . 检验:当y= ah-h at 时,ay≠0. ∴原分式方程的解是y= ah-h at . ∴ay= ah-h t . 答:第一组的攀登速度是ah-h t m/min,第二组的攀登速度是 ah-h at m/min. 2.解:(1)设小强的速度为x m/min,则小明的速度为(x+220)m/min. 根据题意,得1 200 x = 4 500 x+220. 解得x=80. 检验:当x=80时,x(x+220)≠0. ∴原分式方程的解是x=80. ∴x+220=300. 答:小强的速度为80 m/min,小明的速度为300 m/min. (2)①设小明的速度为y m/min. 根据题意,得1 000 y - 1 000 3y =6. 解得y= 1 000 9 . 检验:当y= 1 000 9 时,3y≠0. ∴原分式方程的解是y= 1 000 9 . 1 000÷ 3× 1 000 9 =3(min). 答:小强跑了3 min. ② 1 000(m-1) mn 专题十四 分式阅读材料问题 例题 解:(1) x-1 x+2= x+2 -3 x+2 = x+2 x+2+ -3 x+2=1- 3 x+2. (2) 2x2-1 x-1 = 2(x-1)(x+1)+1 x-1 = 2(x-1)(x+1) x-1 + 1 x-1=2x+ 2+ 1 x-1. ∵原分式为整数,x 为整数, ∴x-1=1或x-1=-1. ∴x=2或x=0. 练习 1.解:(1)设 5x-2 x2-4 = M x+2+ N x-2. 将等式右边通分,得 M(x-2)+N(x+2) (x+2)(x-2) = (M+N)x+(2N-2M) x2-4 . 根据题意,得 M+N=5, 2N-2M=-2. 解得 M=3 , N=2. ∴ 5x-2 x2-4 = 3 x