专题10 特殊的因式分解- 2022-2023学年八年级上册初二数学【中考快递】同步检测举一反三（人教版）

249 八年级 上册 RJ 专题十 特殊的因式分解 例题 观察甲、乙两名同学分解因式的过程: 甲:x2-xy+4x-4y =(x2-xy)+(4x-4y)(分成两组) =x(x-y)+4(x-y)(直接提公因式) =(x-y)(x+4). 乙:a2-b2-c2+2bc =a2-(b2+c2-2bc)(分成两组) =a2-(b-c)2(直接运用公式) =(a+b-c)(a-b+c).(再用平方差公式) 这种分解因式的方法叫做“分组分解法”. 利用“分组分解法”分解因式:m2-mn+mx-nx. 练习 1.分解因式: (1)x2-2xy+y2-9; (2)(x2+y2-1)2-4x2y2. 2.阅读下面的材料: 分解因式:x2-120x+3 456. 解:x2-120x+3 456 =x2-2×60x+3 600-3 600+3 456 =(x-60)2-144 =(x-60+12)(x-60-12) =(x-48)(x-72). 这种分解因式的方法叫做“加减项法”. 利用“加减项法”分解因式:x2+42x+440. 250 八年级 上册 RJ 3.阅读下面的材料: 分解因式:(a+b)2+2(a+b)+1. 解:设a+b=x. ∴原式=x2+2x+1 =(x+1)2 =(a+b+1)2. 这种分解因式的方法叫做“换元法”. 利用“换元法”分解因式: (1)(m+n)2-14(m+n)+49; (2)(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4. 4.先阅读下列材料,再解答下列问题. 分解因式:(a+b)2-2(a+b)+1. 将a+b看成整体,设M=a+b,则原式=M2-2M+1=(M-1)2. 再将M 换元,得原式=(a+b-1)2. 上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你仿照上面 的方法将下列式子进行因式分解: (1)(3a+2b)2-(2a+3b)2; (2)(n2+3n+2)(n2+3n)+1. 5.【阅读与思考】 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分,通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式 的和.巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解. 例如:x2+4x-5=x2+4x+22-22-5=(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1). (1)解决问题:运用配方法将下列多项式进行因式分解: ①x2+3x-4; ②x2-8x-9. (2)【深入研究】试证明多项式x2-6x+12的值总是一个正数. (3)【拓展运用】已知a,b,c分别是△ABC 的三边,且a2-2ab+2b2-2bc+c2=0,试判断△ABC 的 形状,并说明理由. 104 八年级 上册 RJ ∴S2= 1 4 (a+b)2(a-b)2= 1 4×10×4=10. 6.解:(1)(a+b)2;a2+b2+2ab (2)(a+b)2=a2+2ab+b2 (3)①∵a+b=5,∴(a+b)2=25. ∴a2+b2+2ab=25. 又a2+b2=13,∴ab=6. ②设2 020-a=x,a-2 019=y,则x+y=1. ∵(2 020-a)2+(a-2 019)2=5, ∴x2+y2=5. ∵(x+y)2=x2+2xy+y2, ∴xy= (x+y)2-(x2+y2) 2 = 1-5 2 =-2. ∴(2 020-a)(a-2 019)=-2. 7.解:(1)a2-b2,(a+b)(a-b) (2)(a+b)(a-b)=a2-b2 (3)2 0202-2 019×2 021=2 0202-(2 020-1)×(2 020+1)= 2 0202-(2 0202-1)=2 0202-2 0202+1=1. 8.解:(1)S1=a2-b2,S2= 1 2 (2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b). (2)a2-b2=(a+b)(a-b). (3)①原式= x2- 1 4 x2+14 =x4-116. ②107×93=(100+7)(100-7)=1002-72=10 000-49=9 951. 专题十 特殊的因式分解 例题 解:m2-mn+mx-nx=(m2-mn)+(mx-nx)=m(m-n)+ x(m-n)=(m-n)(m+x). 练习 1.解:(1)x2-2xy+y2-9 =(x2-2xy+y2)-9 =(x-y)2-9 =(x-y+3)(x-y-3). (2)(x2+y2-1)2-4x2y2 =(x2+y2-1+2xy)(x2+y2-1-2xy) =[(x2+y2+2xy)-1][(x2+y2-2xy)-1] =[(x+y)2-1][(x-y)2-1]