专题9 乘法公式的灵活运用- 2022-2023学年八年级上册初二数学【中考快递】同步检测举一反三（人教版）

246 八年级 上册 RJ 专题九 乘法公式的灵活运用 例题 已知x+y=8,xy=2.求: (1)x2+y2; (2)x2+xy+y2; (3)(x-y)2. 练习 1.已知x+ 1 x=5. 求: (1)x2+ 1 x2 ;(2)x- 1 x. 2.已知x2+3x-1=0(x≠0).求: (1)x2+ 1 x2 ;(2)x+ 1 x. 3.(1)已知a2+b2=17,ab=4,求a+b的值; (2)已知a-b=5,(a+b)2=49,求a2+b2 的值. 4.若x2+2y2-2xy+4y+4=0,求x2+y2 的值. 247 八年级 上册 RJ 5.如图,边长为a 的正方形ABCD 和边长为b(a>b)的正方形CEFG 拼在一起,B,C,E 三点在同 一条直线上,设图中阴影部分的面积是S. (1)如图1,S 的值与a 的大小有关吗? 请说明理由; (2)如图2,若a+b=10,ab=21,求S 的值; (3)如图3,若a-b=2,a2+b2=7,求S2 的值. (5题图1) (5题图2) (5题图3) 6.数学活动课上,老师准备了若干张如图1的三种纸片,A种纸片是边长为a 的正方形,B种纸片 是边长为b的正方形,C种纸片是长为b,宽为a 的长方形.用A种纸片一张,B 种纸片一张,C 种纸片两张拼成如图2的大正方形. (1)请用两种不同的方法求图2的大正方形的面积:方法1: ;方法2: ; (2)观察图2,请你写出代数式:(a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关系: ; (3)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题: ①已知a+b=5,a2+b2=13,求ab的值; ②已知(2 020-a)2+(a-2 019)2=5,求(2 020-a)(a-2 019)的值. (6题图1) (6题图2) 248 八年级 上册 RJ 7.将边长为a 的正方形的左上角剪掉一个边长为b 的正方形(如图1),将剩下部分按照虚线分割 成①和②两部分,将①和②两部分拼成一个长方形(如图2). (1)设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2,请用含a,b的式子表示:S1= ,S2= ;(式子不必化简) (2)以上结果可以验证的乘法公式是 ; (3)利用(2)中得到的公式,计算2 0202-2 019×2 021. (7题图1) (7题图2) 8.如图1所示,从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,再沿虚线AB 剪开,把 剪成的两张纸片拼成如图2所示的等腰梯形. (1)设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2,请直接用含a,b的式子表示 S1 和S2; (2)请写出上述过程中所揭示的乘法公式; (3)用这个乘法公式计算: ① x- 1 2 x+12 x2+14 ; ②107×93. (8题图1) (8题图2) 103 八年级 上册 RJ ∴CE= 1 2CF. ∴CE= 1 2BD. (2题图2) 专题八 最短路径问题 例题 解:如图,点P 即为所求出口的位置. (例题图) 练习 1.7 2.8 3.4 4.解:(1)100° (2)如图,作点P 关于OA 的对称点P1,作点P 关于OB 的对称 点P2,连接P1P2 交OA 于点C,交OB 于点D,连接PC,PD, 此时△PCD 的周长最小. 根据 对 称 性 可 知,∠OP1C = ∠OPC,∠OP2D = ∠OPD, ∠P1OP2=2∠AOB=2α. ∴∠CPD=∠OP1C+∠OP2D=180°-∠P1OP2=180°-2α. (4题图) 专题九 乘法公式的灵活运用 例题 解:(1)x2+y2=(x+y)2-2xy=82-2×2=60. (2)x2+xy+y2=60+2=62. (3)(x-y)2=x2-2xy+y2=60-2×2=56. 练习 1.解: (1)x2+ 1 x2 = x+ 1 x 2 -2=52-2=23. (2)∵ x- 1 x 2 =x2+ 1 x2 -2=23-2=21, ∴x- 1 x=± 21. 2.解:∵x2+3x-1=0,且x≠0, ∴x- 1 x=-3. (1)x2+ 1 x2 = x- 1 x 2 +2=(-3)2+2=11. (2)∵ x+ 1 x 2 =x2+ 1 x2 +2=11+2=13, ∴x+ 1 x=± 13. 3.解:(1)∵a2+b2=17,ab=4, ∴(a+b)2=a2+b2+2ab=17+2×4=25. ∴a+b=± 25=±5. (2)∵a-b=5, ∴(a-b)2=a2+b2-2ab=25.① ∵(a+b)2=a2+b2+2ab=49,② ∴①+②,得2a2+2b