专题7 截长补短法构全等 专题8 最短路径问题- 2022-2023学年八年级上册初二数学【中考快递】同步检测举一反三（人教版）

243 八年级 上册 RJ 专题七 截长补短法构全等 例题一 如图,在四边形ABCD 中,BC>AB,AD=DC,BD 平分∠ABC. 求证:∠A+∠C=180°. (例题一图) 练习 1.如图,在△ABC 中,∠B=2∠C,∠1=∠2.求证:AB+BD=AC. (1题图) 2.在△ABC 中,∠A=60°,BD,CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,BD,CE 相交于点O.试判断BE, CD,BC 之间的数量关系,并说明理由. (2题图) 例题二 如图,在△ABC 中,∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE.求证:AC-AB=2BE. (例题二图) 244 八年级 上册 RJ 练习 1.如图,在等腰Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,BE 平分∠ABC 交AC 于点E,过点C 作CD⊥ BE 于点D.求证:BE=2CD. (1题图) 2.已知在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC. (1)如图1,若A,B 两点的坐标分别是A(0,4),B(-2,0),求点C 的坐标; (2)如图2,作∠ABC 的平分线BD,交AC 于点D,过点C 作CE⊥BD 于点E.求证:CE= 1 2BD. (2题图1) (2题图2) 245 八年级 上册 RJ 专题八 最短路径问题 例题 如图,高速公路的同侧有A,B 两个村庄,现要在高速公路上设一个出口,使A,B 两个村庄到这个 出口的距离之和最小,请在图中标明这个出口的位置. (例题图) 练习 1.如图,在△ABC 中,AB=3,AC=4,AB⊥AC,EF 垂直平分BC,P 为直线EF 上一动点,则 △ABP 周长的最小值是 . 2.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,BC=8,D 为AB 的中点,P 为BC 上一动点,连接 AP,DP,则AP+DP 的最小值是 . 3.如图,钝角△ABC 的面积为20,最长边AB=10,BD 平分∠ABC,M,N 分别是BD,BC 上的动 点,则CM+MN 的最小值是 . (1题图) (2题图) (3题图) 4.如图,P 是∠AOB 内部一定点. (1)若∠AOB=50°,作点P 关于OA 的对称点P1,作点P 关于OB 的对称点P2,连接OP1, OP2,则∠P1OP2= ; (2)若∠AOB=α(0°<α<90°),点C,D 分别在射线OA,OB 上移动.当△PCD 的周长最小时, 求∠CPD 的度数.(用含α的代数式表示) (4题图) 101 八年级 上册 RJ ∴∠EAF=∠G,AE=GB. ∴AE∥GB. ∴∠GBA+∠BAE=180°. ∵∠BAC+∠EAD=180°,∴∠DAC+∠BAE=180°. ∴∠GBA=∠DAC. ∵AD=AE,∴BG=AD. 在△GBA 和△DAC 中, BA=AC, ∠GBA=∠DAC, BG=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△GBA≌△DAC(SAS).∴AG=CD. ∵AG=2AF,∴CD=2AF. (5题图) 专题七 截长补短法构全等 例题一 证明:如图,在BC 上截取BE=BA,连接DE. ∵BD 平分∠ABC, ∴∠ABD=∠EBD. 在△ABD 和△EBD 中, AB=EB, ∠ABD=∠EBD, BD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABD≌△EBD(SAS). ∴∠A=∠BED,AD=DE. ∵AD=DC, ∴DE=DC. ∴∠C=∠DEC. ∴∠A+∠C=∠BED+∠DEC=180°. (例题一图) 练习 1.证明:如图,延长AB 到点E,使BE=BD,连接DE. ∵BE=BD,∴∠BED=∠BDE. ∵∠BED+∠BDE=∠ABC, ∴∠ABC=2∠BED. ∵∠ABC=2∠C, ∴∠BED=∠C. 在△ADE 和△ADC 中, ∠1=∠2, ∠E=∠C, AD=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ADE≌△ADC(AAS). ∴AE=AC. ∵AE=AB+BE=AB+BD, ∴AB+BD=AC. (1题图) 2.解:BE+CD=BC.理由如下: 如图,在BC 上取点G 使得CG=CD. ∵BD,CE 分别平分∠ABC 和∠ACB, ∴∠OBC= 1 2∠ABC ,∠OCB= 1 2∠ACB. ∵∠BOC=180°- 1 2 (∠ABC+∠ACB)=180°- 1 2 (180°-∠A)= 180°- 1 2 (180°-60°)=120°, ∴∠BOE=∠COD=60°. 在△COD 和△COG 中, CO=CO, ∠DCO=∠GCO, CD=CG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△COD≌△COG(SAS). ∴∠COG=∠COD=60°. ∴∠BOG=