专题4 角平分线的性质与判定- 2022-2023学年八年级上册初二数学【中考快递】同步检测举一反三（人教版）

238 八年级 上册 RJ 专题四 角平分线的性质与判定 例题 如图,△ABC 的∠ABC 的外角平分线BD 与∠ACB 的外角平分线CE 相交于点P. 求证:AP 平分∠CAB. (例题图) 练习 1.如图,BD 和CD 分别平分△ABC 的内角∠CBA 和外角∠ECA,BD 交AC 于点F,连接AD. (1)求证:AD 平分∠GAC; (2)若∠ABD=∠ADB,请判断∠ABC 与∠ACB 的数量关系,并证明你的结论. (1题图) 2.如图,∠B=∠C=90°,EB=EC,DE 平分∠ADC.求证:AE 是∠DAB 的平分线. (2题图) 239 八年级 上册 RJ 3.我们已经学习过角平分线性质定理,即:角平分线上的点到角两边的距离相等. 如图,已知△ABC 的角平分线BD 交边AC 于点D. (1)求证: S△BCD S△BAD = BC AB ; (2)求证: BC AB= CD AD ; (3)如果BC=4,AB=6,AC=5,那么CD= . (3题图) 4.如图,PA=PB,∠1+∠2=180°.求证:OP 平分∠AOB. (4题图) 5.如图,在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O. 求证:OE=OD. (5题图) 97 八年级 上册 RJ ∴∠E= 1 2 (∠A+∠C). (4题图) 专题三 三角形全等基础题 例题 证明:∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE. 在△ABF 和△DCE 中, AB=DC, ∠B=∠C, BF=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABF≌△DCE(SAS). ∴AF=DE. 练习 1.证明:∵AC∥EF,∴∠A=∠E. ∵AD=BE,∴AD-BD=BE-BD,即AB=ED. 在△ABC 和△EDF 中, ∠C=∠F, ∠A=∠E, AB=ED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABC≌△EDF(AAS). ∴BC=DF. 2.证明:在△ABE 和△ACD 中, ∠B=∠C, AB=AC, ∠A=∠A, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABE≌△ACD(ASA). ∴AE=AD. ∴AC-AE=AB-AD,即CE=BD. 3.证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠ECD,∠BAC+∠ACD=180°. ∵∠ACD=90°,∴∠BAC=90°. ∵DE⊥BC,∴∠CED=90°. ∴∠CED=∠BAC. 在△ABC 和△ECD 中, ∠BAC=∠CED, ∠B=∠ECD, BC=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABC≌△ECD(AAS). ∴AB=EC. 4.证明:在△ABC 和△DCB 中, AB=DC, AC=DB, BC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABC≌△DCB(SSS). ∴∠BAC=∠CDB. 在△AOB 和△DOC 中, ∠BAO=∠CDO, ∠AOB=∠DOC, AB=DC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△AOB≌△DOC(AAS). ∴OA=OD. 5.证明:(1)在Rt△ABC 和Rt△DEF 中, AC=DF, AB=DE. ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ∴∠CBA=∠FED. (2)由(1),得∠CBA=∠FED. ∴∠DBM=∠AEM. ∵AB=DE,∴AB-EB=DE-EB,即AE=DB. 在△AEM 和△DBM 中, AE=DB, ∠AEM=∠DBM, EM=BM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△AEM≌△DBM(SAS). ∴AM=DM. 专题四 角平分线的性质与判定 例题 证明:如图,过点P 作PM⊥AC 于点 M,作PN⊥AB 于点 N,作 PH⊥BC 于点 H. ∵BD 平分∠NBC,PN⊥AB,PH⊥BC, ∴PH=PN. ∵CE 平分∠MCB,PM⊥AC,PH⊥BC, ∴PM=PH. ∴PM=PN. ∴AP 平分∠CAB. (例题图) 练习 1.解:(1)证明:如图,过点D 作DN⊥BA 于点N,DK⊥AC 于点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋