13.4 课题学习 最短路径问题-2022-2023学年八年级上册初二数学【勤径千里马·随堂小练10分钟】（人教版）

书 数学·八年级上·人教版　 　 ! 　 " ７．证明：在△ＡＢＣ中， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝３６°， ∴∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝１２（１８０°－∠Ａ） ＝７２°． ∵ＣＤ平分∠ＡＣＢ， ∴∠ＤＣＢ＝１２∠ＡＣＢ＝３６°． 在△ＤＢＣ中， ∠ＢＤＣ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＤＣＢ ＝７２°＝∠Ｂ， ∴ＣＤ＝ＣＢ，即 △ＢＣＤ是等腰三 角形． １３．３．２　等边三角形 第１课时　等边三角形的性质和判定 ［１分钟知识速记］ １．（１）相等　（２）轴对称图形 ２．（１）等边三角形　（２）等腰三角形 ［９分钟目标检测］ １．Ｄ ２．解：∠ＡＰＥ＝６０°． ３．证明：∵ＡＣ＝ＢＣ，ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｄ， ∴ＣＥ平分∠ＡＣＢ． ∵∠ＡＣＢ＝１２０°， ∴∠ＥＣＢ＝６０°． ∵ＤＥ＝ＤＣ，ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｄ， ∴ＡＢ是线段 ＣＥ的垂直平分线， ∴ＢＣ＝ＢＥ， ∴△ＣＥＢ是等边三角形． ５．解：连接ＯＤ， ∵ＰＯ＝ＰＤ，∴ＯＰ＝ＤＰ＝ＯＤ． ∴∠ＤＰＯ＝６０°． ∵△ＡＢＣ是等边三角形， ∴∠Ａ＝∠Ｂ＝６０°，ＡＣ＝ＡＢ＝９． 又∵∠ＯＰＡ＝∠ＰＤＢ＝∠ＤＰＡ－６０°， ∴△ＯＰＡ≌△ＰＤＢ，∴ＡＯ＝ＢＰ． ∵ＡＯ＝３，∴ＰＢ＝３．∴ＡＰ＝６． 第２课时　含３０°角的直角三角形的性质 ［１分钟知识速记］ 斜边 ［９分钟目标检测］ １．１ｃｍ　２．Ｂ　３．４ｃｍ　４．８ ５．解：ＡＢ＝１２． １３．４　课题学习　最短路径问题 ［１分钟知识速记］ １．（１）对称点　（２）Ａ′Ｂ　ａ ２．轴对称　平移 ［９分钟目标检测］ １．略　２．槡３３　３．５ 专题小练习（三）　等腰三角形的“三线合一” １．证明：∵ＯＥ∥ＡＢ，ＯＦ∥ＡＣ， ∴∠ＯＥＣ＝∠ＡＢＣ＝∠ＯＦＥ＝ ∠ＡＣＢ＝６０°， ∴ＯＥ＝ＯＦ＝ＥＦ． ∵ＢＯ，ＣＯ平分∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ， ∴∠ＢＯＣ＝１２０°， ∴∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝３０°． ∵∠ＯＥＦ＝∠ＯＦＥ＝６０°， ∴∠ＣＯＦ＝∠ＢＯＥ＝３０°， ∴ＢＥ＝ＯＥ，ＣＦ＝ＯＦ． ∴ＢＥ＝ＥＦ＝ＣＦ． ２．证明：作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ． ∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ． ∵∠ＢＡＣ＝∠Ｅ＋∠ＡＦＥ， ∠Ｅ＝∠ＡＦＥ， ∴∠ＣＡＤ＝∠Ｅ，∴ＡＤ∥ＥＦ． ∵ＡＤ⊥ＢＣ，∴ＥＦ⊥ＢＣ． ３．证明：∵ＡＦ平分∠ＢＡＣ，ＢＣ⊥ＡＦ， ∴∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ＝１２∠ＢＡＣ， ＣＥ＝ＢＥ． ∵ＣＥ⊥ＡＤ，ＡＥ＝ＥＤ， ∴ＡＣ＝ＣＤ， ∴∠ＣＤＥ＝∠ＣＡＥ＝１２∠ＢＡＣ． ９０１ 书 数学·八年级上·人教版　 　 ! 　 " ∵ＢＣ⊥ＡＦ，ＣＥ＝ＢＥ， ∴ＣＭ ＝ＢＭ， ∴∠ＣＭＡ＝∠ＢＭＡ． 又∵∠ＢＭＡ＝∠ＰＭＦ， ∴∠ＣＭＤ＝∠ＰＭＦ． 又∵∠Ｆ＝∠ＭＣＤ， ∠ＭＰＦ＝１８０°－（∠Ｆ＋∠ＰＭＦ）， ∠ＭＤＣ＝１８０°－（∠ＭＣＤ＋∠ＣＭＤ）， ∴∠ＭＰＦ＝∠ＭＤＣ， ∴∠ＭＰＣ＝∠ＣＤＥ＝∠ＣＡＥ＝ １ ２∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＡＣ＝２∠ＭＰＣ． ４．证明：过点Ａ作ＡＦ∥ＢＣ，交ＢＤ的延长 线于点Ｆ， ∴∠Ｆ＝∠ＤＢＣ，∠ＦＡＤ＝∠Ｃ． ∵∠ＡＢＣ＝２∠Ｃ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＣ＝∠Ｃ， ∴∠Ｆ＝∠ＦＡＤ＝∠ＡＢＤ， ＢＤ＝ＣＤ， ∴ＡＤ＝ＤＦ，ＡＢ＝ＡＦ． ∵ＡＥ⊥ＢＤ，∴ＢＥ＝ＥＦ＝１２ＢＦ． ∵ＡＣ＝ＡＤ＋ＣＤ＝ＤＦ＋ＢＤ ＝ＢＦ， ∴ＡＣ＝２ＢＥ． 第十三章易错小练习 １．Ｄ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ｄ　５．Ｄ　６．Ｂ ７．解：其顶角的度数为３０°或１５０°． ８．Ｃ ９．解：△ＤＥＦ是等边三角形．理由如下： ∵△ＡＢＣ是等边三角形， ∴∠ＡＣＢ＝６０°， ∴∠３＋∠ＢＣＥ＝６０°． ∵∠２＝∠３， ∴∠ＢＥＦ＝∠２＋∠ＢＣＥ＝６０°． 同理∠ＥＦＤ＝∠ＦＤＥ＝６０°， ∴△ＤＥＦ是等边三角形． １０．解：其底角的外角的度数为１６０°． 第十四章　整式的乘法与因式分解 １４．１　整式的乘法 １４．１．１　同底数幂的乘法 ［１分钟知识速记］ １．不变　相加　ａｍ＋ｎ　２．ａｍ＋ｎ＋ｐ ３．ａｍ＋ｍ ＝ａｍ·ａｎ ［９分钟目标检测］ １．（１）５１＋６　５７　（２）３　６　ｘ９ （３）ａ１＋８　ａ９　（４）ｘ２ｍ＋５ｍ－２　ｘ７ｍ－２ ２．（１）－１２５　（２）０ （３）－ｘ５　（４）（ｍ－ｎ）６ ３．Ｄ ４．解：（１）原式 ＝ｘ６． （２）原式 ＝（ｙ－ｘ）５． （３）原式 ＝２ｘ５． （４）原式 ＝－ｘｍ． ５．Ｂ ６．解：（１）ｘ２ｍ＋ｎ＝１７５．　（２）ａｘ＋ａｙ＝１１． （３）ｎ＝３． ７．可做５×１０１０次运算． １４．１．２　幂的乘方 ［１分钟知识速记］ 不变　相乘　ａｍｎ ［９分钟目标检测］ １．（１）４　３　５１２　（２）５　５　ｘ２５ （３）－ａ２ｍ×２　 －ａ４ｍ ２．Ｄ　３．Ｃ ４．解：（１）原式 ＝ａ１０．　（２）