12.3 角的平分线的性质-2022-2023学年八年级上册初二数学【勤径千里马·随堂小练10分钟】（人教版）

书 数学·八年级上·人教版　 　 ! 　 " 第２课时　三角形全等的判定———ＳＡＳ ［１分钟知识速记］ 边角边　ＳＡＳ ［９分钟目标检测］ １．Ａ　２．Ａ ３．∠ＥＤＦ　∠ＥＤＦ　ＢＣ △ＥＦＤ　∠Ｂ　∠Ｆ　ＥＦ ４．５ｃｍ　５．３ ６．（１）证明：在△ＡＢＭ和△ＢＣＮ中， ＡＢ＝ＢＣ， ∠ＡＢＭ ＝∠Ｃ， ＢＭ ＝ＣＮ { ， ∴△ＡＢＭ≌△ＢＣＮ（ＳＡＳ）． （２）解：∵△ＡＢＭ≌△ＢＣＮ， ∴∠ＢＡＭ ＝∠ＣＢＮ． ∵∠ＢＡＭ＋∠ＡＢＰ＝∠ＡＰＮ， ∴∠ＣＢＮ＋∠ＡＢＰ＝∠ＡＰＮ＝ ∠ＡＢＣ＝１０８°， 即∠ＡＰＮ的度数是１０８°． 第３课时　三角形全等的判定 　　　　　　　　———ＡＳＡ，ＡＡＳ ［１分钟知识速记］ １．夹边　角边角　ＡＳＡ　２．对边 ［９分钟目标检测］ １．Ｃ　２．△ＣＤＡ　ＡＡＳ ３．ＡＡＳ　ＡＢ　ＤＣ　ＡＡＳ △ＡＢＥ　△ＤＣＥ ４．５ ５．证明：∵ＡＢ∥ＤＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｄ． ∵ＦＡ∥ＥＣ，∴∠ＡＦＢ＝∠ＣＥＤ． ∵ＡＢ＝ＤＣ， ∴△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ）， ∴ＢＦ＝ＤＥ． ６．证明：∵ＣＥ⊥ＡＢ，ＢＤ⊥ＡＣ， ∴∠ＣＥＡ＝∠ＢＤＡ＝９０°， ∴∠Ｃ＝∠Ｂ． 在△ＡＥＣ和△ＡＤＢ中， ∠ＡＥＣ＝∠ＡＤＢ， ∠Ｃ＝∠Ｂ， ＡＣ＝ＡＢ { ， ∴△ＡＥＣ≌△ＡＤＢ（ＡＡＳ）， ∴ＡＤ＝ＡＥ． ∵ＡＢ＝ＡＣ， ∴ＣＤ＝ＢＥ． 第４课时　直角三角形全等的判定—ＨＬ ［１分钟知识速记］ １．斜边　一条直角边　ＨＬ ２．ＳＳＳ，ＳＡＳ，ＡＳＡ，ＡＡＳ，ＨＬ ［９分钟目标检测］ １．①②③④　２．ＡＢ＝ＡＣ　３．Ｄ ４．Ｃ　５．８ ６．Ｃ １２．３　角的平分线的性质 第１课时　角的平分线的性质 ［１分钟知识速记］ １．相等 ２．ＤＰ⊥ＯＡ　ＥＰ⊥ＯＢ　ＰＤ＝ＰＥ ［９分钟目标检测］ １．（１）ＯＭ ＝ＯＮ　（２）ＣＭ ＝ＣＮ （３）∵ＯＭ＝ＯＮ，ＣＭ＝ＣＮ，ＯＣ＝ＯＣ， ∴△ＯＭＣ≌△ＯＮＣ， ∴∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ． ２．Ｄ ４０１ 书 数学·八年级上·人教版　 　 ! 　 " ３．证明：∵Ｄ是ＢＣ的中点，∴ＢＤ＝ＣＤ． ∵ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ， ∴在Ｒｔ△ＢＥＤ和Ｒｔ△ＣＦＤ中， ＢＤ＝ＣＤ， ＢＥ＝ＣＦ{ ， ∴Ｒｔ△ＢＥＤ≌Ｒｔ△ＣＦＤ（ＨＬ）， ∴ＤＥ＝ＤＦ． ∵ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ， ∴ＡＤ平分∠ＢＡＣ． ４．解：点Ｄ到ＡＢ的距离是４． 第２课时　角的平分线的判定 ［１分钟知识速记］ １．距离相等 ２．ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＡＢ于点Ｆ ［９分钟目标检测］ １．４　２．Ａ ３．解：（１）∠Ｂ＝３０°． （２）ＡＢ＝６ｃｍ． ４．证明：在Ｒｔ△ＰＦＤ和Ｒｔ△ＰＧＥ中， ＰＦ＝ＰＧ，ＤＦ＝ＥＧ， ∴Ｒｔ△ＰＦＤ≌Ｒｔ△ＰＧＥ（ＨＬ）， ∴ＰＤ＝ＰＥ． ∵Ｐ是ＯＣ上一点，ＰＤ⊥ＯＡ， ＰＥ⊥ＯＢ， ∴ＯＣ是∠ＡＯＢ的平分线． ５．证明：∵ＢＥ⊥ＡＣ，ＣＦ⊥ＡＢ， ∴∠ＢＦＤ＝∠ＣＥＤ＝９０°． 在△ＢＤＦ和△ＣＤＥ中， ∠ＢＦＤ＝∠ＣＥＤ， ∠ＢＤＦ＝∠ＣＤＥ， ＢＤ＝ＣＤ { ， ∴△ＢＤＦ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ）， ∴ＤＦ＝ＤＥ， ∴ＡＤ平分∠ＢＡＣ． ６．证明：∵ＯＭ ＝ＯＮ，∠ＭＯＥ＝∠ＮＯＤ， ＯＥ＝ＯＤ， ∴△ＭＯＥ≌△ＮＯＤ， ∴∠ＯＭＥ＝∠ＯＮＤ． ∵∠ＭＣＤ＝∠ＮＣＥ，∠ＤＭＣ＝∠ＥＮＣ， ＭＤ＝ＯＭ－ＯＤ＝ＯＮ－ＯＥ＝ＮＥ， ∴△ＭＣＤ≌△ＮＣＥ， ∴ＭＣ＝ＮＣ． 连接ＯＣ， ∵ＯＭ ＝ＯＮ，∠ＯＭＣ＝∠ＯＮＣ， ＭＣ＝ＮＣ， ∴△ＯＭＣ≌△ＯＮＣ， ∴∠ＭＯＣ＝∠ＮＯＣ， ∴点Ｃ在∠ＡＯＢ的平分线上． 专题小练习（二） 三角形全等判定方法的灵活选择 １．证明：∵ＡＦ＝ＣＤ， ∴ＡＦ－ＣＦ＝ＣＤ－ＣＦ， 即ＡＣ＝ＤＦ． 又∵ＡＢ＝ＤＥ，ＢＣ＝ＥＦ， ∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ． ２．证明：∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠Ｂ＝∠Ｄ． ∵ＢＥ＝ＤＦ， ∴ＢＥ＋ＥＦ＝ＤＦ＋ＥＦ， 即ＢＦ＝ＤＥ． 在△ＡＢＦ和△ＣＤＥ中， ＡＢ＝ＤＣ， ∠Ｂ＝∠Ｄ， ＢＦ＝ＤＥ { ， ∴△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ（ＳＡＳ）． ３．解：△ＢＥＤ≌△ＣＦＤ．理由如下： ∵ＢＥ⊥ＡＥ，ＣＦ⊥ＡＥ， ∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ． ∵Ｄ是ＥＦ的中点， ∴ＥＤ＝ＦＤ． ５０１ 书 数学·八年级上·人教版　 　 ! 　 " 在△ＢＥＤ和△ＣＦＤ中， ∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ， ＥＤ＝ＦＤ， ∠ＢＤＥ＝∠ＣＤＦ { ， ∴△ＢＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＳＡ）． ４．证明：∵ＡＢ∥ＣＦ，∴∠Ａ＝∠ＡＣＦ． 在△ＡＤＥ和△ＣＦＥ中， ∠Ａ＝∠ＡＣＦ， ∠ＡＥＤ＝∠ＣＥＦ， ＤＥ＝ＦＥ { ， ∴△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ（ＡＡＳ）． ５．解：∠Ａ＝∠Ｂ．理由如下： 由已知ＣＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＢ，得 △ＡＤＦ与△ＢＣＥ是直角三角形． 在Ｒｔ△ＡＤＦ和Ｒｔ△ＢＣＥ中， 由ＡＥ＝Ｂ