专题14 相似证明-2022-2023学年九年级全一册初三数学【中考快递】同步检测举一反三（人教版）

307 九年级 全一册 RJ 专题十四 相似证明 例题一 如图,在▱ABCD 中,AD=4,CD=6,过点D 作DE⊥AB,垂足为E,连接CE,F 为线段CE 上一 点,且∠DFE=∠A. (1)求证:△DFC∽△CBE; (2)若DF= 85 5 ,求DE 的长. (例题一图) 练习 1.如图,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD,∠B=∠ACD. (1)求证:△ABC∽△ACD; (2)若AB=2,AC=3,求AD 的长. (1题图) 308 九年级 全一册 RJ 2.如图,在▱ABCD 中,点E 在BC 上,∠CDE=∠DAE. (1)求证:△ADE∽△DEC; (2)若AD=6,DE=4,求EC 的长. (2题图) 3.如图,在▱ABCD 中,∠ABC 的平分线交AC 于点E,交AD 于点F,交CD 的延长线于点G. (1)求证:△ABE∽△CGE; (2)若AF=2FD,求 BE GE 的值. (3题图) 例题二 (1)如图1,在△ABC 中,AB=AC,D 是AB 上一点,E 是AC 的延长线上一点,且BD=CE.过点 D 作DF∥AC 交BC 于点F,连接DE 交BC 于点M.求证:BD=FD,FM=CM; (2)如图2,在(1)的条件下,增加条件∠A=90°,过点D 作DN⊥BC,垂足为N.若AC=1,求MN 的长. (例题二图1) (例题二图2) 309 九年级 全一册 RJ 练习 1.如图1,在△ABC 中,DE∥BC,G 是AE 上一点,连接BG 交DE 于点F,作GH∥AB 交DE 于 点H. (1)与△GHE 相似的三角形是 ; (2)若AD=3BD,BF=GF,求 EG AG 的值; (3)如图2,连接CH 并延长交AB 于点P,交BG 于点Q,连接PF.求证:PF∥CE. (1题图1) (1题图2) 310 九年级 全一册 RJ 2.如图,在四边形ABCD 中,BD 平分∠ABC,∠ADB=∠DCB=90°,E 为AB 的中点,CE 与BD 交于点F. (1)求证:△ABD∽△DBC; (2)若BC∶BA=2∶3,BD=14,求BF 的长. (2题图) 311 九年级 全一册 RJ 3.如图,AD,BE 是△ABC 的两条高,过点D 作DF⊥AB,垂足为F,FD 交BE 于点M,FD,AC 的延长线交于点N. (1)求证:△BFM∽△NFA; (2)求证:DF2=FM·FN; (3)若AC=BC,DN=12,ME∶EN=1∶2,求线段AC 的长. (3题图) 121 九年级 全一册 RJ 专题十四 相似证明 例题一 解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,CD∥AB. ∴∠A+∠B=180°,∠DCE=∠CEB. ∵∠DFE=∠A,∴∠DFE+∠B=180°. ∵∠DFC+∠DFE=180°,∴∠DFC=∠B. 又∠DCF=∠CEB,∴△DFC∽△CBE. (2)由(1),知△DFC∽△CBE. ∴ DF CB= DC CE ,即 85 5 4 = 6 CE.∴CE=35. ∵CD∥AB,DE⊥AB,∴∠EDC=∠DEA=90°. 在Rt△DEC 中,根据勾股定理,得 DE= CE2-CD2= (35)2-62=3. 练习 1.解:(1)证明:∵AC 平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD. 又∠B=∠ACD,∴△ABC∽△ACD. (2)由(1),知△ABC∽△ACD.∴ AB AC= AC AD ,即2 3= 3 AD. ∴AD= 9 2. 2.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC.∴∠ADE=∠DEC. 又∠DAE=∠EDC,∴△ADE∽△DEC. (2)由(1),知△ADE∽△DEC. ∴ AD DE= DE EC ,即6 4= 4 EC.∴EC= 8 3. 3.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD. ∴∠EAB=∠ECG,∠EBA=∠EGC. ∴△ABE∽△CGE. (2)∵AF=2FD,∴AD=3FD. ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD=BC,AB=CD,DF∥CB. ∴BC=3FD,△GFD∽△GBC. ∴ FD BC= GD GC ,即1 3= GD GC. ∴ CD CG= 2 3.∴ AB CG= 2 3. ∵△ABE∽△CGE,∴ AB CG= BE GE= 2 3. 例题二 解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠BCA. ∵DF∥AC,∴∠BFD=∠BCA,∠FDM=∠CEM. ∴∠B=∠BFD.∴BD=FD. ∵BD=CE,∴FD=CE. 在△FDM 和△CEM 中, ∠FMD=∠CME, ∠FDM=∠CEM, FD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡