专题13 相似三角形的应用-2022-2023学年九年级全一册初三数学【中考快递】同步检测举一反三（人教版）

305 九年级 全一册 RJ 专题十三 相似三角形的应用 例题 学习了相似三角形相关知识后,小明和同学们想利用标杆测量大楼的高度.如图,小明站立在地面点 F 处,他的同学在点B 处竖立标杆AB,使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C 在一条直线上 (点F,B,D 也在一条直线上).已知小明的身高EF=1.5 m,标杆AB=2.5 m,BD=23 m,FB= 2 m. (1)求大楼的高度CD 的长; (2)小明站在原来的位置,同学们通过移动标杆,可以用同样的方法测得大楼CD 上点G 的高度, GD=11.5 m,那么相对于第一次测量,标杆AB 应该向大楼方向移动多少米? (例题图) (例题备用图) 练习 1.如图,小明为了测量大树AB 的高度,在离点B 21 m的N 处放了一个平面镜,小明沿BN 方向 后退1.4 m到达点D,此时从镜子中恰好看到树顶的A 点.已知小明的眼睛(点C)到地面的高 度CD 是1.6 m,求大树AB 的高度. (1题图) 306 九年级 全一册 RJ 2.大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔,被国务院批准列入第一批全国重点文物 保护单位.某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度,在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为 2 m的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,大雁塔的塔尖点B 正好在同一条直线上, 测得EC=4 m,将标杆向后平移到点G 处,这时地面上的点F,标杆的顶端点 H,大雁塔的塔尖 点B 正好在同一条直线上(点F,G,E,C 与大雁塔底处的点A 在同一条直线上),这时测得 FG=6 m,CG=60 m,请你根据以上数据,计算大雁塔的高度AB. (2题图) 3.数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度EF.在第一次测量中,小莉来回走动,走到点D 时,其 影子末端与树影子末端重合于点 H,测得DH=1 m.随后,组员在直线DF 上平放一平面镜,在 镜面上做了一个标记,这个标记在直线DF 上的对应位置为点G.镜子不动,小莉从点D 沿着直 线FD 后退11 m到点B 时,恰好在镜子中看到顶端E 的像与标记G 重合,此时BG=2 m.如 图,已知AB⊥BF,CD⊥BF,EF⊥BF,小莉的身高为1.6 m.根据以上信息,求树的高度EF. (3题图) 120 九年级 全一册 RJ 专题十三 相似三角形的应用 例题 解:(1)如图1,过点E 作EH⊥CD 于点H,交AB 于点J. ∴四边形EFBJ 和四边形EFDH 都是矩形. ∴EF=BJ=DH=1.5,BF=EJ=2,DB=JH=23. ∵AB=2.5,∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1. ∵AJ∥CH,∴△EAJ∽△ECH. ∴ AJ CH= EJ EH ,即 1 CH= 2 25. ∴CH=12.5. ∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14. 答:大楼的高度CD 的长为14 m. (例题图1) (2)如图2,过点E 作ET⊥CD 于点T,交AB 于点R. 设BF=x m. ∵AR∥GT,∴ AR GT= ER ET , 即 1 11.5-1.5= x 25. 解得x=2.5. 2.5-2=0.5(m). 答:标杆AB 应该向大楼方向移动0.5 m. (例题图2) 练习 1.解:∵AB⊥DB,DC⊥DB, ∴∠CDN=∠ABN=90°. ∵∠CND=∠ANB,∴△CDN∽△ABN. ∴ CD AB= DN BN ,即1.6 AB= 1.4 21. ∴AB=24. 答:大树AB 的高度为24 m. 2.解:根据题意,得DC∥AB. ∴△EDC∽△EBA.∴ DC BA= EC EA. ∵GH∥AB,∴△FHG∽△FBA.∴ HG BA= FG FA. ∵DC=HG,∴ FG FA= EC EA , 即 6 66+CA= 4 4+CA. 解得CA=120. ∵ DC BA= EC EA ,∴ 2 BA= 4 4+120.∴BA=62. 答:大雁塔的高度AB 为62 m. 3.解:设树的高度EF 为x m. 根据题意,得DB=11,BG=2,DH=1,AB=CD=1.6. ∴GD=DB-BG=9. ∵CD⊥BF,EF⊥BF,∴CD∥EF. ∴△EFH∽△CDH. ∴ EF CD= FH DH ,即EF CD= DH+DF DH . ∴ x 1.6= 1+DF 1 . ∴DF= 5 8x-1. 由平面镜反射规律,得∠EGF=∠AGB. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �