专题5 二次函数公共点、最值问题-2022-2023学年九年级全一册初三数学【中考快递】同步检测举一反三（人教版）

287 九年级 全一册 RJ 专题五 二次函数公共点、最值问题 例题 已知二次函数y=-x2+6x-5. (1)求二次函数图象的顶点坐标; (2)当1≤x≤4时,函数的最大值和最小值分别为多少? (3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3,求t的值. 288 九年级 全一册 RJ 练习 1.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2-(m-2)x-2m,其中m 为常数. (1)求抛物线的对称轴和顶点的纵坐标; (2)当-1≤x≤1时,函数的最大值与最小值的差为3,求m 的值. 289 九年级 全一册 RJ 2.如图,在平面直角坐标系中,线段AB 的端点坐标为A(-2,5),B(1,2). (1)求线段AB 与y 轴的交点坐标; (2)若抛物线y=x2+mx+3与线段AB 有两个公共点,求m 的取值范围. (2题图) 290 九年级 全一册 RJ 3.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点为(1,2),与y 轴的交点为C(0,3). (1)求二次函数的解析式; (2)已知点A(-1,1),B(3,1).若原二次函数图象向下平移m 个单位长度,与线段AB 有公共 点,求m 的取值范围. (3题图) 291 九年级 全一册 RJ 4.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,-4),B(-2,2). (1)求c的值,并用含a 的式子表示b; (2)直线AB 上有一点C(m,5),将点C 向右平移4个单位长度得到点D,若抛物线与线段CD 只有一个公共点,求a 的取值范围. 113 九年级 全一册 RJ 专题五 二次函数公共点、最值问题 例题 解:(1)∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4, ∴二次函数图象的顶点坐标为(3,4). (2)∵a=-1<0,∴抛物线开口向下. ∵顶点坐标为(3,4),∴当x=3时,y最大值=4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 114 九年级 全一册 RJ ∵当1≤x≤3时,y 随x 的增大而增大, ∴当x=1时,y最小值=-1+6-5=0. ∵当3<x≤4时,y 随x 的增大而减小, ∴当x=4时,y最小值=-(4-3)2+4=3. 综上所述,当1≤x≤4时,函数的最大值为4,最小值为0. (3)当t≤x≤t+3时,对t进行分类讨论. ①当t+3<3,即t<0时,y 随x 的增大而增大. 当x=t+3时,m=-(t+3)2+6(t+3)-5=-t2+4. 当x=t时,n=-t2+6t-5. ∴m-n=-t2+4-(-t2+6t-5)=-6t+9. ∴-6t+9=3.解得t=1(不合题意,舍去). ②当0≤t<3时,顶点的横坐标在取值范围内. ∴m=4. (ⅰ)当0≤t≤ 3 2 时,在x=t时,n=-t2+6t-5. ∴m-n=4-(-t2+6t-5)=t2-6t+9. ∴t2-6t+9=3.解得t1=3- 3,t2=3+ 3(不合题意,舍去). (ⅱ)当 3 2<t<3 时,在x=t+3时,n=-t2+4. ∴m-n=4-(-t2+4)=t2. ∴t2=3.解得t1= 3,t2=- 3(不合题意,舍去). ③当t≥3时,y 随x 的增大而减小. 当x=t时,m=-t2+6t-5. 当x=t+3时,n=-(t+3)2+6(t+3)-5=-t2+4. ∴m-n=-t2+6t-5-(-t2+4)=6t-9. ∴6t-9=3.解得t=2(不合题意,舍去). 综上所述,t的值为3- 3或 3. 练习 1.解:(1)∵- b 2a=- -(m-2) 2 = m 2-1 , 4ac-b2 4a = 4×1×(-2m)-[-(m-2)]2 4×1 = -m2-4m-4 4 , ∴抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x= m 2 -1 ,顶 点 的 纵 坐 标 为 -m2-4m-4 4 . (2)当 x=-1时,y=(-1)2-(m-2)×(-1)-2m= -m-1. 当x=1时,y=12-(m-2)×1-2m=-3m+3. 当 m 2-1≥1 ,即m≥4时,在-1≤x≤1范围内,y 随x 的增大 而减小. ∴-m-1-(-3m+3)=3.解得m= 7 2 (不合题意,舍去). 当 m 2-1≤-1 ,即m≤0时,在-1≤x≤1范围内,y 随x 的增 大而增大. ∴-3m+3-(-m-1)=3.解得m= 1 2 (不合题意,舍去). 当0≤ m 2-1<1 ,即2≤m<4时,最小值为 -m2-4m-4 4 ,最 大值为-m-1. ∴-m-1- -m2-4m-4 4 =3. 解得m1=23,m2=-23(不合题意,舍去). 当-1< m 2-1<0 ,即0<m<2时,最小值为 -