专题4 实际问题与二次函数-2022-2023学年九年级全一册初三数学【中考快递】同步检测举一反三（人教版）

283 九年级 全一册 RJ 专题四 实际问题与二次函数 例题一 如图1,桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分,在某一时刻,桥拱内的水面宽OA=8 m,桥拱顶点 B 到水面的距离是4 m. (1)如图2,建立平面直角坐标系,求桥拱部分抛物线的函数解析式; (2)一只宽为1.2 m的打捞船径直向桥驶来,当船驶到桥拱下方且与点O 相距0.4m时,桥下水位 刚好在OA 处,有一名身高1.68 m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾,他的头顶是否会触 碰到桥拱? 请说明理由.(假设船底与水面齐平) (例题一图1) (例题一图2) 练习 1.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为x 轴,过跳台终点A 作水平 线的垂线为y 轴,建立平面直角坐标系如图所示,图中的抛物线C1:y=- 1 480x 2+40近似表示 滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点O 正上方50 m处的点A 滑出,滑出后沿一段抛物线 C2:y=- 1 120x 2+bx+c运动.当运动员运动到离点A 处的水平距离为60 m时,离水平线的高 度为60 m. (1)求小山坡最高点到水平线的距离; (2)求抛物线C2 所对应的函数解析式; (3)当运动员滑出点A 后,请直接写出运动员运动的水平距离为多少时,运动员与小山坡C1 的 竖直距离为10 m. (1题图) 284 九年级 全一册 RJ 2.如图,一个小球沿与地面成一定角度飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小 球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x. (1)在飞行过程中,求小球从飞出到落地所用的时间; (2)在飞行过程中,当x 为何值时,小球的飞行高度最大? 最大高度是多少? (2题图) 例题二 某超市需要购进某种商品,每件进价为10元.设该商品的销售单价为x(单位:元),在销售过程中 发现:当10≤x≤20时,该商品的日销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)之间存在一次函数 关系,其中x,y 之间的部分数值对应关系如下表. 销售单价x/元 10 20 日销售量y/件 180 120 (1)当10≤x≤20时,求y 关于x 的函数解析式; (2)设该商品的日销售利润为w 元,当该商品的销售单价为多少元时,日销售利润最大? 最大利润 是多少元? 285 九年级 全一册 RJ 练习 1.为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召,某公司自主设计了一款成本为8元的 杯子,并投放市场进行试销售,经过调查发现该产品每天销售量y(单位:个)与销售单价x(单 位:元)满足一次函数关系. (1)如图,求y 关于x 的函数解析式,并写出x 的取值范围; (2)当销售单价定为多少元时,每天销售获得的利润最大? 最大利润是多少? (1题图) 2.如图,某单位投资1万元围成一个矩形菜园,其中一边靠墙,另外三边选用不同材料建造.墙长 24 m,平行于墙的边的费用为200元/m,垂直于墙的边的费用为150元/m,设平行于墙的边长 为x m. (1)设垂直于墙的一边长为y m,求y 关于x 的函数解析式; (2)若菜园的面积为384 m2,求x 的值; (3)求菜园的最大面积. (2题图) 286 九年级 全一册 RJ 3.某商家正在热销一种商品,其成本为30元/件,在销售过程中发现随着售价增加,销售量在减 少.商家决定当售价为60元/件时,改变销售策略,此时售价每增加1元需支付由此产生的额外 费用150元.该商品销售量y(单位:件)与售价x(单位:元/件)满足如图所示的函数关系(其中 40≤x≤70,且x 为整数). (1)求y 关于x 的函数解析式; (2)当售价为多少元/件时,商家所获利润最大? 最大利润是多少? (3题图) 112 九年级 全一册 RJ 专题四 实际问题与二次函数 例题一 解:(1)根据题意,得水面宽OA 是8,桥拱顶点B 到水面的距离 是4. 结合函数图象,可知顶点B(4,4),点O(0,0). 设二次函数的解析式为y=a(x-4)2+4. 将点O(0,0)代入函数解析式,得16a+4=0.解得a=- 1 4. ∴二次函数的解析式为y=- 1 4 (x-4)2+4,即y=- 1 4x 2+ 2x(0≤x≤8). (2)他的头顶不会碰到桥拱.理由如下: ∵小船与点O 相距0.4 m,小船宽1.2 m,工人直立在小船中间, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋