专题14 圆中相似-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题14 圆中相似 1．如图，是的直径，是上一点，连接、，是的切线，切点为，，、的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，记的半径，求证：． 【解答】证明：（1）连接， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）是圆的切线， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，是的中点，． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 【解答】（1）证明：连接，如图： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）是的中点，且， 是的中位线，， ， ， 是的直径， ， 又， ， ，即， ． 3．如图，已知是的直径，弦交于点，作，交延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）如果，，，求的长度． 【解答】解：①连接， 和都是对应的圆周角， ， 是直径，，， ， ， ，即， 为的切线； ②连接． 设，，则， 为的直径，为的切线， ，． 又为的斜边的中点， ， ， ， ． 在中，由勾股定理得，即． 设，由相交弦定理得，即， ① 又， ． 又，， ，从而． 在中，由勾股定理得，即， ．② 联立①②，解得，． ． 4．如图1，以的边为直径作，交边于点，平分交于，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）延长交直线于点，如图2，若，，求的值及的长． 【解答】（1）证明：如图1中，连接． 是直径， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）如图2中，连接、． 平分， 是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．如图，是的直径，弦交于点，点为延长线上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，是的中线，且，求的长． 【解答】（1）证明：是直径， ， ， ，， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：作于点， 的半径为5， ， ，， ， ， ， ， 是的中线，， ， ． 6．已知，，，四点在上．弦与直径相交于点．，点为射线上一点，使得． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求． 【解答】（1）证明：是直径， ， ， ，， ， ， 即， 又是直径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， ． 7．如图，在中，以为直径作交于，平分交于，若．