专项20 平方差公式的几何背景（三大类型）-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项20 平方差公式的几何背景（三大类型） 【典例1】（2022秋•永春县期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　） A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【答案】D 【解答】解：∵左图阴影的面积是a2﹣b2， 右图的阴影的面积是（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：D． 【变式1-1】（2022春•市中区校级月考）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　） A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2 C．（4a+12）cm2 D．（6a+15）cm2 【答案】C 【解答】解：（a+4）2﹣（a+2）2＝a2+8a+16﹣（a2+4a+4）， ＝（4a+12）2cm2， 故选：C． 【变式1-2】（2022春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　） A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2 【答案】A 【解答】解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b）， 图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故选：A． 【典例2】（2022春•天桥区校级期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 　 　； （2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值； （3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）． 【解答】解：（1）图1阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 由图1、图2阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）∵x2﹣9y2＝12，即（x+3y）（x﹣3y）＝12，而x+3y＝4， ∴x﹣3y＝12÷4＝3， 答：x﹣3y的值为3； （3）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+） ＝××××××…×××× ＝× ＝． 【变式2】（2022春•咸阳月考）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝　 　，S2＝　 　； （2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 　 ； （3）运用（2）中得到的公式，计算：20222﹣2021×2023． 【解答】解：（1）由题意得，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）； （2）由（1）题结果，可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）20222﹣2021×2023 ＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1） ＝20222﹣20222+1 ＝1 【典例3】（2022春•宝安区期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是：　 ＝ 　． （2）小明在计算（2+1）（22+1）（24+1）时利用了（1）中的公式： （2+1）（22﹣1）（24+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） ＝　 ． （请你将以上过程补充完整．） （3）利用以上的结论和方法、计算：+（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）． 【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 由图①、图②面积相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）