专项19 完全平方公式的几何背景（两大类型）-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项19 完全平方公式的几何背景（两大类型） 【典例1】（2022秋•南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于 　 　； （2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法①　 ；方法②　 ； （3）观察图2，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系； （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值． 【解答】解：（1）由拼图可知，图②中阴影部分的边长为m﹣n， 故答案为：m﹣n； （2）阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2， 阴影部分的面积可以看作从边长为m+n的正方形面积中减去4个长为m，宽n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn， 故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn； （3）由（2）中两种方法所表示的图形的面积相等，可得， （m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn； （4）∵a+b＝8，ab＝5， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝64﹣20 ＝44 【变式1-1】（2022春•玄武区校级期中）观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（　　） A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2 C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2 D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2 【答案】A 【解答】解：整体是长为a+2b，宽为a+b的长方形，因此面积为（a+2b）（a+b）， 整体是由6个部分的面积和，即a2+3ab+2b2， 因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2， 故选：A． 【变式1-2】（2022秋•渝中区校级月考）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（　　） A．10 B．1 1 C．12 D．13 【答案】B 【解答】解：根据题意可得， S阴＝a²﹣﹣ ＝（a²﹣ab+b²） ＝[（a+b）²﹣3ab]， 把a+b＝7，ab＝9代入上式， 则S阴＝×（72﹣3×9）＝11． 故选：B． 【变式1-3】（2022春•阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　） A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2 【答案】C 【解答】解：方法一： 图2中四个长方形的面积的和＝图1的长方形的面积＝2m×2n＝4mn， 图2的大正方形的面积＝（m+n）2， 图2中阴影部分的面积＝图2的大正方形的面积﹣图2中四个长方形的面积的和 ＝（m+n）2﹣4mn ＝m2+2mn+n2﹣4mn ＝m2﹣2mn+n2 ＝（m﹣n）2． 方法二： 图中阴影部分是正方形，且四个边长都是（m﹣n）， ∴阴影部分的面积＝（m﹣n）2． 故选：C． 【典例2】（2022春•双流区校级期中）著x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）； （3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝2，CF＝6，长方形EMFD的面积是192，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积． 【解答】解：（1）设7﹣x＝a，x﹣4＝b， 则（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝7﹣x+x﹣4＝3， ∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）设n﹣2021＝a，n﹣2022＝b， 则（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝a2+b2＝11，a﹣b＝（n﹣2021）﹣（n﹣2022）＝1， （n﹣2021）（2022﹣n）＝﹣（n﹣2021）（n﹣2022） ＝﹣ab ＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）] ＝ ＝﹣5； （3）根据题意可得， MF＝x﹣2，FD＝x﹣6，（x﹣2）（x﹣6）＝192， 设x﹣2＝a，x﹣6＝b， 则（x﹣2）（x﹣6）＝ab＝192， a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣6）＝4， S阴＝（x﹣2）2﹣（x