4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（课时作业）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

训练八　等比数列的性质及应用 [对应素能提升训练第15页] 1.（多选）已知{an},{bn}都是等比数列,那么 （　　） A.{an＋bn},{anbn}都一定是等比数列 B.{an＋bn}一定是等比数列,但{anbn}不一定是等比数列 C.{an＋bn}不一定是等比数列,但{anbn}一定是等比数列 D.,{anbn}一定是等比数列 解析　当两个数列都是等比数列时,这两个数列的和不一定是等比数列,比如取两个数列是互为相反数的数列,两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积和商一定是等比数列. 答案　CD 2.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg（a3a8a13）＝6,则a1a15的值为 （　　） A.100 B.－100 C.10 000 D.－10 000 解析　∵a3a8a13＝,∴lg（a3a8a13）＝lg ＝3lg a8＝6. ∴a8＝100.∴a1a15＝＝10 000,故选C. 答案　C 3.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%.今共有粮m（m＞0）石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行衰分,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为 （　　） A.20%,369 B.80%,369 C.40%,360 D.60%,365 解析　设“衰分比”为a（a＞0）,甲衰分得b石,由题意得解得故选A. 答案　A 4.两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn.若＝2,则＝ （　　） A.512 B.32 C.8 D.2 解析　因为A9＝a1a2a3…a9＝,B9＝b1b2b3…b9＝,所以＝＝512. 答案　A 5.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,成等比数列,则此未知数是　　　　.  解析　设此三数为3,a,b,则 解得或所以这个未知数为3或27. 答案　3或27 6.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第二个正方形,以第二个正方形的对角线为边画第三个正方形,这样一共画了十个正方形,则第十个正方形的面积等于　　　　平方厘米.  解析　这十个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列{an}（1≤n≤10,n∈N*）,则第十个正方形的面积S＝＝22×29＝211＝2 048. 答案　2 048 7.已知数列{an}为等比数列, （1）若a1＋a2＋a3＝21,a1a2a3＝216,求an； （2）若a3a5＝18,a4a8＝72,求公比q. 解　（1）∵a1a2a3＝＝216,∴a2＝6,∴a1a3＝36. 又∵a1＋a3＝21－a2＝15, ∴a1,a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12. 当a1＝3时,q＝＝2,an＝3·2n－1； 当a1＝12时,q＝,an＝12·. （2）∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72, ∴q4＝4,∴q＝±. 8.已知等比数列{an}中,首项为a1,公比为q,则下列条件中,使{an}一定为递减数列的是 （　　） A.｜q｜＜1 B.a1＞0,q＜1 C.a1＞0,0＜q＜1或a1＜0,q＞1 D.q＞1 解析　因为{an}为递减数列,所以an－an－1＝a1qn－2·（q－1）＜0（n≥2,n∈N*）,若a1＞0,则0＜q＜1；若a1＜0,则q＞1.故选C. 答案　C 9.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1a6a11＝－3,b1＋b6＋b11＝7π,则tan 的值是 （　　） A.－ B. C.－ D. 解析　因为{an}是等比数列,所以a1a6a11＝＝－3,所以a6＝－,所以a4a8＝＝3.因为{bn}是等差数列,所以b1＋b6＋b11＝3b6＝7π,所以b6＝,所以b3＋b9＝2b6＝.所以＝－,所以tan ＝tan ＝－tan ＝－. 答案　A 10.各项均为正数的等比数列{an}满足：a1＞1,a6＋a7＞a6a7＋1＞2,记数列{an}的前n项积为Tn,则满足Tn＞1的最大正整数n的值为 （　　） A.11 B.12 C.13 D.14 解析　∵a6＋a7＞a6a7＋1＞2, ∴ ∵a1＞1,∴由a6a7＞1得a1a12＝a2a11＝…＝a6a7＞1,∴T12＞1,∵a7＜1,∴a1a13＝a2a12＝…＝＜1,∴T13＜1,∴n的最大值为12,故选B. 答案　B 11.在等比数列{an}中,若a7＝－2,则数列的前13项之积等于　　　　.  解析　由于{an}是等比数列,∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝