专题6.5 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】-2022-2023学年七年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题6.5 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】 【浙教版】 【题型1 线段中的整体思想】 1 【题型2 线段中的方程思想】 5 【题型3 线段中的分类讨论思想】 11 【题型4 线段中的数形结合思想】 17 【题型5 角中的整体思想】 22 【题型6 角中的方程思想】 30 【题型7 角中的分类讨论思想】 37 【题型8 角中的数形结合思想】 43 【题型1 线段中的整体思想】 【例1】（2022·全国·七年级专题练习）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长； （2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长． 【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 【变式1-1】（2022·黑龙江大庆·期末）如图1，已知点C在线段AB上，且，． (1)若，，求线段MN的长． (2)若C为线段AB上任意一点，且满足，其他条件不变，求线段MN的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）若AC=12，CB=6，求线段MN的长； （2）若点C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC=a，请直接写出线段MN的长； （1） 解：因为，，，， 所以，． ． 所以． （2） 解：因为，，， 所以：， 所以． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用AM=AC．BN=BC，得出AM的长，BN的长是解题关键． 【变式1-2】（2022·四川德阳·七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．    (1)若AB=10cm，求线段MN的长； (2)若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长． 【答案】(1)MN＝5cm (2)PN＝cm 【分析】（1）根据线段中点的性质可得MC＝AC，CN＝BC．再根据MN＝MC+CN＝AC+BC＝（AC+BC）代入计算即可得出答案； （2）先根据题意可计算出AP的长度，由线段中点的性质可得AB＝2AP，CB＝AB﹣AC，CN＝CB，再根据PN＝CN﹣CP代入计算即可得出答案． (1) 解：∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴MC＝AC，CN＝BC， ∴MN＝MC＋CN＝AC＋BC＝（AC＋BC）＝AB＝×10＝5（cm）. (2) 解：∵AC＝3，CP＝1， ∴AP＝AC＋CP＝4，   ∵点P是线段AB的中点， ∴AB＝2AP＝8，CB＝AB－AC＝5， ∵点N是线段CB的中点， ∴CN＝CB＝（cm），    ∴PN＝CN－CP＝－1＝（cm）． 【点睛】本题主要考查了两点间距离的计算，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键． 【变式1-3】（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，已知B、C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，且． (1)如图线段AD上有6个点，则共有______条线段； (2)比较线段的大小：AC______BD（填“＞”、“=”或“＜”）； (3)若，，求MN的长度． 【答案】(1)15 (2)＝ (3)10 【分析】（1）根据线段有两个端点，得出所有线段的条数； （2）依据AB＝CD，即可得到AB＋BC＝CD＋BC，进而得出AC＝BD； （3）依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度． (1) ∵线段AD上有6个点， ∴图中共有线段条数为6×（6−1）÷2＝15； 故答案为：15； (2) ∵AB＝CD， ∴AB＋BC＝CD＋BC， 即AC＝BD； 故答案为：＝； (3) ∵，， ∴， ∵M是AB的中点，N是CD的中点， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． 【题型2 线段中的方程思想】 【例2】（2022·河南信阳·七年级期末）如图，，，，四点在同一条直线上． (1)若， ①比较线段的大小：______；（填“>”“=”或“<”） ②若，且，则的长为______cm； (2)若线段被点，分成了三部分，且