专题5.1 基本计数原理（5类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（北师大版2019选择性必修第一册）

专题5.1 基本计数原理 【考点1：分类加法计数原理】 1 【考点2：分步乘法计数原理】 3 【考点3：组数问题】 5 【考点4：涂色问题】 9 【考点5：利用两个计数原理解决其他实际问题】 16 【考点1：分类加法计数原理】 【知识点：分类加法计数原理】 (1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (2) 能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点： ①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类． ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事． ③把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 1．（2022·全国·高二课时练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（    ）． A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 【答案】B 【分析】首位数字是2，则后三位数字之和为4，然后分类排列即可求解. 【详解】由题知后三位数字之和为4， 当一个位置为4时有004，040，400，共3个； 当两个位置和为4时有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9个； 当三个位置和为4时112，121，211，共3个， 所以一共有15个. 故选：B 2．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　) A．4种 B．6种 C．10种 D．16种 【答案】B 【解析】分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种方法(如图)， 同理，甲先踢给丙时，满足条件有3种方法． 由分类加法计数原理，共有3＋3＝ 6种传递方式． 3. (2022·杭州二中月考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 【答案】B 【解析】①当a＝0时，有x＝－，b＝－1,0,1,2，有4种可能； ②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1， (ⅰ)当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能； (ⅱ)当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能； (ⅲ)当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能． ∴有序数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13. 4. 从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是________． 【答案】6 【解答】从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)． 5．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期中）已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有_______． 【答案】28种 【分析】根据新定义，分析取不同的值时，取值的个数，即可得解. 【详解】当a为0时，b只能取0，1两个数； 当a为9时，b只能取8，9两个数； 当a为其它数时，b都可以取三个数，例如时，可取. 综上，一共有种情形. 故答案为：28种 【考点2：分步乘法计数原理】 【知识点：分步乘法计数原理】 (1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． (2) 能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可． ②完成每一步有若干种方法． ③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． (3) 名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 不同点 运用加法运算 运用乘法运算 分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解 分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解 1．（2022·浙江·杭州四中高二期中）仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（    ）种. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】每个冠军都有3种可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况． 【详解】解：由题意，每项比赛的冠军都有3种可能， 因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有种可能 故选：C． 2．（2022·全国·高二课时练习）从地到地要经过地，已知从地到地有三