专题1.3 立体几何与空间向量-2023年高考数学阶段复习名校模拟题精选（解答题）（新高考地区专用）

专题1.3 立体几何与空间向量 题组一、线面、面面角的计算 1-1、（南京市八校高三年级第一次校际联考）（12分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点． (1)求证：平面SCD； (2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值； 【证明】：侧棱底面ABCD，AB垂直于AD，所以以点A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， …………1分 则，，，，， 所以，，. ……………………3分 设平面SCD的一个法向量为，则，即, 令z＝1，则x＝2，y＝－1，此时. ……………………5分 因为，所以, ……………………6分 则平面SCD. （2） 易知平面SAB的一个法向量为，……………………7分 由（1）知SCD的一个法向量为，……………………9分 则， ……………………11分 所以平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为. ……………………12分 （第一问也可以通过构造平行四边形得到线线平行证得线面平行，酌情给4分；在第二问中建系1分，求两个法向量各2分，求余弦2分，结论1分） 1-2、（2022~2023学年常州市八校第一学期10月阶段考试高三数学） 四棱锥底面为平行四边形，且，，，平面，． （1）点在棱上，且，求证：平面； （2）若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）作出点，并连接，，，，且交于点，连接， 可知，得到，进而得到，即可证明； （2）中，由余弦定理和勾股定理可得，再以为原点建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式表达出异面直线与所成角的余弦值，进而求出点的坐标，再利用空间向量解决二面角问题即可. 【小问1详解】 作出点，并连接，，，，且交于点，连接， 在平行四边形中，，则， 又因为，所以，则有， 平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 在中，，，， 则， 有，于是得， 即，， 又平面， 则以点为原点，直线，，分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则，，，设，， 有，， 因异面直线与所成角的余弦值为，则 ，解得， ，， 设平面的法向量，则， 令，得，取平面的法向量， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 1-3、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考）如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，． （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值是，且直线与平面所成角的正弦值是，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形性质和平行关系可证得，，由线面垂直的判定可得结论； （2）方法一：由面面垂直性质可证得平面，过点作，由线面角和面面角的定义可知，，由此可求得，由异面直线所成角的定义可知所求角为，由可求得所求余弦值； 方法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，利用线面角和面面角的向量求法可求得的值，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 四边形为矩形，； ，即，又，， ，平面，平面. 【小问2详解】 方法一：平面平面，平面平面，，平面，平面， 则即为直线与平面所成的角，， 过点作，则平面平面， 由（1）可得：面，，， 平面与平面夹角为，， 又，，则，， ，， 又异面直线与所成的角为，， 即异面直线与所成角的余弦值为． 方法二：由（1）可得：，，， 以点为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， ，，， 面，平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，解得：； 平面，平面的一个法向量； ，解得：， ，， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 1-4、（2022~2023学年第一学期苏州市高三期中调研试卷数学）如图，在三棱锥中，，底面． （1）求证：平面平面； （2）若，是的中点，记与底面所成角为，与平面所成角为，试研究与的等量关系． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由底面，可得，再结合，由线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论， （2）取的中点，连接，可得就是直线与底面所成角，在直角中可求得，取的中点，连接，可得就是直线与平面所成角，在直角中可求得，从而可得答案. 【小问1详解】 证明：因为底面，底面， 所以． 又因为，即， 又因为平面，且相交于点， 所以直线平面． 又因为平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 取的中点，连接，由于是的中点