专题1.2 数列-2023年高考数学阶段复习名校模拟题精选（解答题）（新高考地区专用）

专题1.2 数列 题组一、数列的求和与通项 1-1、（江苏淮安市2021-2022学年度第一学期期中调研测试试题） . 在①，，成等差数列，②，，成等比数列，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 已知为数列的前项和，， ，且________. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由可得出数列是等比数列，且得出公比，由选择的条件可求出首项为1，即可写出通项公式； （2）求出，再由等差数列的前n项和求出. 【详解】（1）由已知，时，.两式相减得到， 即，因为，所以数列是公比为的等比数列，从而. 选①，，成等差数列， 由，，成等差数列，可得，即，解得，所以. 选②，，成等比数列， ，，成等比数列，即，，成等比数列，，解得，所以. 选③， ，即，解得，所以. （2）. 则. 1-2、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，数列{bn}为等比数列，且满足bn(an＋1－an)＝bn＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2) 数列{bn}的前n项和为Sn，若________，记数列{cn}满足cn＝求数列{cn}的前2n项和T2n． 在①2S2=S3-2,②b2，2a3, b4成等差数列，③S6＝126这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）因为bn(an＋1－an)＝bn＋1，a1＝1，a2＝3， 令n=1得2b1＝b2，………………1分 又数列{bn}为等比数列，所以bn＋1=2bn，………………3分 则an＋1－an＝2，所以数列{an}是以1为首项2为公差的等差数列， 所以an＝2n-1 ………………6分 （2）由（1）知数列数列{bn}为公比为2的等比数列 若选①，由2S2=S3-2得2（b1+2b1）＝b1+2b1+4b1-2，所以b1＝2,则bn = 若选②，由b2，2a3, b4成等差数列得4a3= b2+ b4，即2b1+8b1＝20，所以b1＝2,则bn = 若选③，由S6＝126得，所以b1＝2,则bn =……………8分 所以………………9分 所以数列{cn}的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列， ………………10分 所以T2n＝ ………………12分 1-3、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）设为数列的前n项和，是首项为1，公差为1的等差数列. （1）求数列的通项公式. （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出的通项公式，即可得到，再根据作差计算可得； （2）由（1）可得，记数列的前项和为，利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 解：因为是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以， 当时， 当时，所以，当时也成立， 所以. 【小问2详解】 解：由（1）可知， 记数列的前项和为， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 题组二、数列中的证明与判断 2-1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（10分） 已知数列的前n项和为，且，． （1）证明是等比数列， （2）求数列的通项公式． 【解析】 ：（1）由得，即，（3分） 又，∴是以3为首项，3为公比的等比数列．（4分） （2）由（1）可得，即．（6分） 当时，（9分 又满足，∴．（10分） 2-2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考）已知数列的前项和为，，数列满足，． （1）求数列、的通项公式； （2）若数列满足，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式；利用累加法可求出数列的通项公式； （2）由（1）问结论求出，然后利用裂项相消求和法，求出的和即可证明原不等式. 【小问1详解】 解：由，得， 所以 又由，得，满足，所以， 而，所以， 所以； 【小问2详解】 证明：因为， 所以 2-3、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分10分）设数列{an}的前项和为Sn，已知a1＋a3=6，a2＋a4=10，各项均为正数的等比数列{bn}满足，． （1）求Sn； （2）设Tn=bi，求证：Tn＜4． 【解析】（1） （2） 即 2-4、（江苏如皋中学2022~202