专题13 指数函数恒成立与求参-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

专题13 指数函数恒成立与求参 目录 【题型一】利用奇偶性单调性求参 1 【题型二】求参：指数换元一元二次型 4 【题型三】求参：指数换元对钩函数 5 【题型四】求参：指数换元双刀函数 7 【题型五】求参：指数型分段函数含参 8 【题型六】求参：指数函数求值域 10 【题型七】指数型超越函数解不等式 12 【题型八】指数型“倍增函数” 13 【题型九】指数型“放大镜函数” 15 【题型十】指数型“高斯函数” 18 【题型十一】指数型“复合二次型”求参 19 培优第一阶——基础过关练 21 培优第二阶——能力提升练 24 培优第三阶——培优拔尖练 28 【题型一】利用奇偶性单调性求参 【典例分析】 ．已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式可得单调性和奇偶性，再利用性质可得答案. 【详解】当时，则，， 当时，则，，，所以为奇函数， 因为时为增函数，又为奇函数， 为上单调递增函数，的图象如下， 由得， 所以，即在都成立，即，解得.故选：D. 【变式训练】 1.定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得为偶函数，且在上单调递减，根据奇偶性及单调性可得对任意的恒成立，两边平方即可得到，再对分类讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解； 【详解】解：因为定义在上的函数满足，所以为偶函数，当时，，则当时函数在定义域上单调递减，，当时，函数在上单调递减，且当时，所以函数在上单调递减，当时函数图象如下所示： 因为对任意的，不等式恒成立，即恒成立，即，平方可得； ①当，即时，即，对任意的，所以，即，所以； ②当，即时，显然符号题意； ③当，即时，即，对任意的，所以，即，与矛盾； 综上所述，，即实数的最大值为；故选：B 2.已知函数是定义在上的奇函数，若不等式在上恒成立，则整数m的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】首先根据是定义在上的奇函数，可得，即可求出的值，再利用的单调性脱掉可得可得在上恒成立，分离可得 ，求得最大值即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以对于恒成立， 即，整理可得：，因为，所以，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以不等式即不等式， 可得在上恒成立，所以，令，则 令，， 因为，当且仅当即时等号成立，所以，所以，即得，所以整数m的最大值为，故选：B 3.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围是（    ） A．[2，5] B． C．[2，3] D． 【答案】A 【解析】利用的奇偶性及指数函数的单调性求出当时的值域A，由二次函数的单调性求出在上的值域B，由题意知，列出不等式组求解即可. 【详解】当时，， 因为是定义在上的奇函数， 所以，当时，，记， ，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 即当时，，记， 对于任意，存在，使得等价于， 所以，解得.故选：A 【题型二】求参：指数换元一元二次型 【典例分析】 已知函数，在的图像恒在轴上方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意令，由则，则函数，则问题转化成在上恒成立，化简不等式恒成立，根据基本不等式可求的范围，再根据恒成立思想，可求参数取值范围. 【详解】令，则，函数化成。则函数，在图象恒在轴上方，可转化成在恒成立，故在恒成立， 则有。且。则，又在恒成立， 则故的范围故选： 【变式训练】 1.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式整理为，令，根据二次函数性质可求得的最小值为，由此可得，解不等式可求得结果. 【详解】由得：， 令，则当时，，， ，解得：，即实数的取值范围为.故选：D. 2.．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将时，不等式恒成立，转化为对一切恒成立，再，求得其最小值即可. 【详解】因为时，不等式恒成立， 所以对一切恒成立，令， 所以，解得. 3.已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是（    ） A．2－2<m<2＋2 B．m<2 C．m<2＋2 D．m≥2＋2 【答案】C 【分析】令t＝3x(t>1)，则不等式恒成立等价于函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，根据二次函数的图像与性质列出不等式进行求解. 【详解】令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的