4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（教参Word）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

第2课时　等比数列的性质及应用 [学习任务] 1.在理解等比数列定义和通项公式的基础上,探索并发现等比数列的性质.（重点） 2.理解等比数列的性质并能简单应用.（重点） 3.掌握等比数列的性质并能综合应用.（难点） [对应学生用书第21页] 知识点　常用等比数列的性质 1.如果m＋n＝k＋l（m,n,k,l∈N*）,则有am·an＝ak·al. 2.如果m＋n＝2k（m,n,k∈N*）,则有am·an＝. 3.若m,n,p（m,n,p∈N*）成等差数列,则am,an,ap成等比数列. 4.在等比数列{an}中,每隔k项（k∈N*）取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. 5.如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为q1,q2,那么数列,{an·bn},,{｜an｜}仍是等比数列,且公比分别为,q1q2,,｜q1｜. 6.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1an＝a2an－1＝…＝akan－k＋1. [对应学生用书第22页] 探究一　等比数列性质的应用 [例1]　已知{an}为等比数列. （1）若an＞0,a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25,求a3＋a5； （2）若an＞0,a5a6＝9,求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. [解]　（1）a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＋2a3a5＋＝（a3＋a5）2＝25, ∵an＞0,∴a3＋a5＞0,∴a3＋a5＝5. （2）根据等比数列的性质,得 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9, ∴a1a2…a9a10＝（a5a6）5＝95, ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3（a1a2…a9a10） ＝log395＝10. 巧用等比数列的性质解题 （1）解答等比数列问题的基本方法——基本量法. ①基本思路：运用方程思想列出基本量a1与q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解； ②优缺点：适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁. （2）利用等比数列的性质解题 ①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题； ②优缺点：简单快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量. 1.（1）在等比数列{an}中,a6a12＝6,a4＋a14＝5,则＝ （　　） A.或 B. C.或 D.或 （2）公差不为零的等差数列{an}中,2a3－＋2a11＝0,数列{bn}是等比数列,且b7＝a7,则b6b8＝　　　　.  解　（1）由a6a12＝a4a14＝6,且a4＋a14＝5, 解得a4＝2,a14＝3或a4＝3,a14＝2, 若a4＝2,a14＝3,则q10＝,即＝； 若a4＝3,a14＝2,则q10＝,即＝. （2）由a3＋a11＝2a7,且2a3－＋2a11＝0,得4a7－＝0得a7＝4（a7＝0不合题意,舍去）, 所以b6b8＝＝＝16. 答案　（1）A　（2）16 探究二　等差、等比数列的综合应用 [例2]　数列{an}的前n项和记为Sn,a1＝1,an＋1＝2Sn＋1（n≥1）. （1）求{an}的通项公式； （2）等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3＝15,又a1＋b1,a2＋b2,a3＋b3成等比数列,求Tn. [解]　（1）由an＋1＝2Sn＋1,可得an＝2Sn－1＋1（n≥2）, 两式相减,得an＋1－an＝2an,即an＋1＝3an（n≥2）. 又∵a2＝2S1＋1＝3,∴a2＝3a1. 故{an}是首项为1,公比为3的等比数列, ∴an＝3n－1. （2）设{bn}的公差为d, 由T3＝15,得b1＋b2＋b3＝15,可得b2＝5, 故可设b1＝5－d,b3＝5＋d. 又a1＝1,a2＝3,a3＝9, 由题意可得（5－d＋1）（5＋d＋9）＝（5＋3）2. 解得d1＝2,d2＝－10. ∵等比数列{bn}的各项为正, ∴d＞0,∴d＝2. Tn＝3n＋×2＝n2＋2n. 等差数列 等比数列 不同点 （1）强调每一项与前一项的差； （2）a1和d可以为零； （3）等差中项唯一 （1）强调每一项与前一项的比； （2）a1与q均不为零； （3）等比中项有两个值 相同点 （1）都强调每一项与前一项的关系； （2）公差与公比都必须是常数； （3）数列都可以由a1,d或a1,q确定 联系 （1）若{an}为正项等比数列,则{logaan}为等差数列； （2）{an}为等差数列,则{}为等比数列 2.在等比数列{an}中,a2＝3,a5＝81. （1）求an； （2）设bn＝log3an,求数列{bn}的前n项和Sn. 解　（1）设{an}的首项为a1,公比为q,依题