4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式（教参Word）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念与通项公式 [学习任务] 1.理解等比数列的定义.（重点） 2.掌握等比数列的通项公式及其应用.（重点、难点） 3.熟练掌握等比数列的判定方法.（易错点） [对应学生用书第18页] 知识点一　等比数列的定义 　　一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示（显然q≠0）. 知识点二　等比中项 　　如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2＝ab. 知识点三　等比数列的通项公式 　　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q（q≠0）,则通项公式为an＝a1qn－1. [对应学生用书第19页] 探究一　等比数列的通项公式 [例1]　在等比数列{an}中： （1）已知a1＝3,q＝－2,求a6； （2）已知a3＝20,a6＝160,求an. [解]　（1）由等比数列的通项公式得 a6＝3×（－2）6－1＝－96. （2）设等比数列的公比为q, 那么解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. 等比数列通项公式的求法 （1）根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法. （2）充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算. 1.在等比数列{an}中： （1）a4＝2,a7＝8,求an； （2）a2＋a5＝18,a3＋a6＝9,an＝1,求n. 解　（1）因为 由得q3＝4,从而q＝,而a1q3＝2, 于是a1＝＝,所以an＝a1qn－1＝. （2）方法一：因为 由得q＝,从而a1＝32. 又因为an＝1,所以32×＝1, 即26－n＝20,所以n＝6. 方法二：因为a3＋a6＝q（a2＋a5）,所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18,得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1,得n＝6. 探究二　等比中项 [例2]　（1）在等比数列{an}中,a1＝,q＝2,则a4与a8的等比中项a6＝ （　　） A.±4 B.4 C.± D. （2）已知b是a,c的等比中项,求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项. [解析]　（1）由an＝×2n－1＝2n－4知,a4＝1,a8＝24,所以a4与a8的等比中项为±4,又a1＞0,q＞0,∴a6＞0,故a4与a8的等比中项为a6＝4. [答案]　B （2）证明：因为b是a,c的等比中项, 所以b2＝ac,且a,b,c均不为零, 又因为（a2＋b2）（b2＋c2）＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2 ＝a2b2＋2a2c2＋b2c2,（ab＋bc）2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2 ＝a2b2＋2a2c2＋b2c2, 所以（ab＋bc）2＝（a2＋b2）（b2＋c2）, 即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项. 　　（1）首项a1和公比q是构成等比数列的基本量,从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法. （2）解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个,它们互为相反数,而异号的两个数没有等比中项. 2.（1）三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,则这三个数是　　　　　　　　　　　.  （2）在等差数列{an}中,a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项,那么k＝　　　　.  解析　（1）设这三个数所成等比数列中的项依次为,a,aq（aq≠0）,则＋a＋aq＝14,·a·aq＝64,即a＝14,a3＝64,解得a＝4,q＝或2.故这三个数所成的等比数列为8,4,2或2,4,8. （2）设等差数列{an}的公差为d,由题意得a3＝a1＋2d＝0,∴a1＝－2d.又∵ak是a6与ak＋6的等比中项,∴＝a6ak＋6,即[a1＋（k－1）d]2＝（a1＋5d）[a1＋（k＋5）d],[（k－3）d]2＝3d·（k＋3）d,解得k＝9或k＝0（舍去）. 答案　（1）2,4,8或8,4,2　（2）9 探究三　等比数列的判定与证明 [例3]　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a,试判断{an}是否是等比数列. [解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1（n≥2）. 当n≥2时,＝＝2； 当n＝1时,＝＝. 故当a＝－1时,数列{an}成等比数列,其首项为1,公比为2；当a≠－1时,数列{an}不是等比数列. 判断一个数列{an}是等比数列的方法 （1）定义法：若数列{an}满足＝q（q为常数且不为零）或＝q（n≥2,q为常数且不为零）,则数列{an}是等比数列. （2）等比中项法：对于数列{an},若＝anan＋2且an≠0,则数列{an}是等比数列.