4.2.1 第2课时 等差数列的性质（教参Word）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

第2课时　等差数列的性质 [学习任务] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.（重点） 2.能运用等差数列的性质解决有关问题.（难点） [对应学生用书第11页] 知识点　等差数列的性质 1.等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋（n－1）d （揭示首末两项的关系） an＝am＋（n－m）d （揭示任意两项之间的关系） 2.等差数列的性质 　　若数列{an}是公差为d的等差数列,正整数m,n,p,q满足m＋n＝p＋q,则am＋an＝ap＋aq. （1）特别地,当m＋n＝2k（m,n,k∈N*）时,am＋an＝2ak. （2）对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. （3）若数列{an}是公差为d的等差数列,则 ①数列{c＋an}（c为任一常数）是公差为d的等差数列； ②数列{can}（c为任一常数）是公差为cd的等差数列； ③数列{an＋an＋k}（k为常数,k∈N*）是公差为2d的等差数列. （4）若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan＋qbn}（p,q是常数）是公差为 pd1＋qd2的等差数列.  [对应学生用书第11页] 探究一　等差数列的性质应用 [例1]　（链接教材第17页例5）（1）已知等差数列{an}中,a2＋a4＝6,则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ （　　） A.30 B.15 C.5 D.10 （2）设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1＝25,b1＝75,a2＋b2＝100,则a37＋b37＝ （　　） A.0 B.37 C.100 D.－37 [解析]　（1）∵数列{an}为等差数列, ∴a2＋a4＝2a3＝6,∴a3＝3. ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15. （2）设cn＝an＋bn,由于{an},{bn}都是等差数列, 则{cn}也是等差数列,且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100, c2＝a2＋b2＝100, ∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0. ∴c37＝100,即a37＋b37＝100. [答案]　（1）B　（2）C 　　本例（1）求解主要用到了等差数列的性质：若数列m＋n＝p＋q,则am＋an＝ap＋aq. 对于此性质,应注意：必须是两项相加等于两项相加,否则不一定成立.例如,a15≠a7＋a8,但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22,但a1＋a21＝2a11. 本例（2）应用了等差数列的性质：若数列{an},{bn}是等差数列,则{an＋bn}也是等差数列.灵活运用等差数列的某些性质,可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力,应注意加强这方面的训练. 1.（1）已知数列{an}为等差数列,a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450,则a2＋a8的值为　　　　.  （2）设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1＋b1＝7,a3＋b3＝21,则a5＋b5＝　　　　.  解析　（1）方法一：根据等差数列通项公式得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝（a1＋2d）＋（a1＋3d）＋（a1＋4d）＋（a1＋5d）＋（a1＋6d）＝5a1＋20d＝450,∴a1＋4d＝90. ∴a2＋a8＝2a＋8d＝2（a1＋4d）＝180. 方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 由等差数列的性质知：a3＋a7＝a4＋a6＝2a5. ∴5a5＝450.∴a5＝90. ∴a2＋a8＝2a5＝180. （2）方法一：设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,因为a3＋b3＝（a1＋2d1）＋（b1＋2d2）＝（a1＋b1）＋2（d1＋d2）＝7＋2（d1＋d2）＝21,所以d1＋d2＝7,所以a5＋b5＝（a3＋b3）＋2（d1＋d2）＝21＋2×7＝35. 方法二：∵数列{an},{bn}都是等差数列, ∴数列{an＋bn}也构成等差数列, ∴2（a3＋b3）＝（a1＋b1）＋（a5＋b5）, ∴2×21＝7＋a5＋b5, ∴a5＋b5＝35. 答案　（1）180　（2）35 探究二　灵活设元求解等差数列 [例2]　（1）三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数. （2）四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为－8,求这四个数. [解]　（1）设这三个数依次为a－d,a,a＋d, 则解得 ∴这三个数为4,3,2. （2）方法一：设这四个数为a－3d,a－d,a＋d,a＋3d（公差为2d）, 依题意,2a＝2,且（a－3d）（a＋3d）＝－8, 即a＝1,a2－9d2＝－8, ∴d2＝1,∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列,所以d＞0, ∴d＝1,故所求的四个数为－2,0,2,4