4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式（教参Word）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [学习任务] 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的判定方法.（重点） 3.掌握等差数列的通项公式及等差中项的概念,并能简单应用.（难点） 4.掌握等差数列的判定方法.（重点） [对应学生用书第8页] 知识点一　等差数列的定义 　　一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 知识点二　等差中项 　　由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A＝a＋b. 知识点三　等差数列的通项公式 　　已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d（n∈N*） an＝a1＋（n－1）d（n∈N*） [对应学生用书第8页] 探究一　等差数列的通项公式及相关计算 [例1]　在等差数列{an}中, （1）已知a1＝2,d＝3,n＝10,求an； （2）已知a1＝3,an＝21,d＝2,求n； （3）已知a1＝12,a6＝27,求d； （4）已知d＝－,a7＝8,求a1和an. [解]　（1）an＝a10＝a1＋（10－1）d＝2＋9×3＝29. （2）由an＝a1＋（n－1）d得3＋2（n－1）＝21,解得n＝10. （3）由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27,解得d＝3. （4）由a7＝a1＋6d得a1－2＝8,解得a1＝10,所以an＝a1＋（n－1）d＝10－（n－1）＝－n＋. 等差数列通项公式中的四个参数及其关系 等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d 四个参数 a1,d,n,an “知三求一” 知a1,d,n求an 知a1,d,an求n 知a1,n,an求d 知d,n,an求a1 1.在等差数列{an}中, （1）已知a5＝－1,a8＝2,求a1与d； （2）已知a1＋a6＝12,a4＝7,求a9. 解　（1）∵a5＝－1,a8＝2, ∴解得 （2）设数列{an}的公差为d. 由已知得解得 ∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1, ∴a9＝2×9－1＝17. 探究二　等差中项的应用 [例2]　已知等差数列{an},满足a2＋a3＋a4＝18,a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式. [解]　∵ a2＋a3＋a4＝18,∴3a3＝18,a3＝6. ∴解得或 当时,a1＝16,d＝－5, ∴an＝a1＋（n－1）d＝16＋（n－1）（－5）＝－5n＋21. 当时,a1＝－4,d＝5, ∴an＝a1＋（n－1）d＝－4＋5（n－1）＝5n－9. 　　三数a,b,c成等差数列的条件是b＝（或2b＝a＋c）,可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,可证2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）. 2.（1）已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为　　　　,　　　　,　　　　.  （2）已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an（n≥2）,且a2＝5,a5＝13,则a8＝　　　　.  解析　（1）因为8,a,2,b,c是等差数列, 所以解得 （2）由an－1＋an＋1＝2an（n≥2）知,数列{an}是等差数列, ∵a2＝5,a5＝13,∴解得 ∴an＝＋（n－1）×＝n－. ∴a8＝×8－＝21. 答案　（1）5　－1　－4　（2）21 探究三　等差数列的判定或证明 1.不含参数的等差数列的判定或证明 [例3]　已知数列{an}满足a1＝4,an＝4－（n＞1）,记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列. [证明]　方法一（定义法）： ∵bn＋1－bn＝－ ＝－＝＝, 又b1＝＝, ∴数列{bn}是首项为,公差为的等差数列. 方法二（等差中项法）： ∵bn＝, ∴bn＋1＝＝＝, ∴bn＋2＝＝＝, ∴bn＋bn＋2－2bn＋1＝＋－2×＝0, ∴bn＋bn＋2＝2bn＋1（n∈N*）, ∴数列{bn}是等差数列. 等差数列的判定方法 （1）定义法：an＋1－an＝d（常数）（n∈N*）⇔{an}为等差数列. （2）中项法：2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔{an}为等差数列. （3）通项法：an＝pn＋q（p,q为常数,n∈N*）⇔{an}为等差数列. 若要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或中项法. 2.含参数的等差数列的判定或证明 [例4]　数列{an}满足a1＝2,an＋1＝（λ－3）an＋2n（n∈N*）. （1）当a2＝－1时,求λ及a3； （2）是否存在λ的值,使数列{an}为等差数列？若存在,求其通项公式；若不存在