选修4-4 1 坐标系（教师word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第一节　坐标系 高考要求 考向规律 1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程. 1．求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，难度中档． 2．考查题型：解答题. 知识点一　平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：　　的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 知识点二　极坐标方程 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做__极点__；自极点O引一条射线Ox，叫做__极轴__；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 极点、极轴、单位(长度单位、角度单位)、正方向． (2)极坐标：①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ； ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ； ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)； 一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． [微提醒]　点P(ρ，θ0)中，若ρ<0，则表示点P在射线θ＝θ0的反向延长线上，且|OP|＝|ρ|. 2．极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： 3．简单曲线的极坐标方程 曲线 极坐标方程 圆心为极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0<θ<π) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线．(　　) (2)点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标为.(　　) (3)过极点，作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.(　　) (4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　) A. B. C．(1,0) D．(1，π) 解析　由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1， 圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.故选B. 答案　B 3．将极坐标化为直角坐标为________ . 解析　由 可知直角坐标为(0，－2)． 答案　(0，－2) 4．在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是________ . 解析　极坐标为的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2. 答案　ρsin θ＝2 考点一　图形的伸缩变换(自主练透) 1．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： (1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标； (2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程． 解析　(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ： 得∴ ∴点A′ 的坐标为(1，－1)． (2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点． 由伸缩变换φ：得代入y＝6x，得2y′＝6×＝2x′，即y′＝x′， ∴y＝x为所求直线l′的方程． 2．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：(λ，μ＞0)，求λ，μ的值． 解析　将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，把伸缩变换公式φ：(λ，μ>0)，代入上式， 得＋＝1，即2x2＋2y2＝1， 与x2＋y2＝1比较系数，得所以 3．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期． 解析　由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sin，得3y＝3sin， 整理得y＝sin， 故f(x)＝sin. 所以函数f(x)的最小正周期为π. [练后悟通] 伸缩变换后方程的求法及注意点 (1)平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)即为所求． (2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二