第11章 2 数系的扩充与复数的引入（教师word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第二节　数系的扩充与复数的引入 高考要求 考向规律 1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示法及其几何意义． 4．能进行复数代数形式的四则运算． 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 1．从近三年的高考试题来看，复数是高考考查的热点之一，题目处在试卷的前三个题的位置，难度较小． 2．重点考查复数的基本概念、复数的模、复数的几何意义、复数相等、复数的四则运算以及共轭复数，其中复数的乘、除运算是高考考查的热点． 3．考查题型：选择题. 知识点一　复数的有关概念 1．定义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部a，虚部b. 2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类： 复数z 3．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__a＝c且b＝d__(a，b，c，d∈R)． 4．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔__a＝c，b＝－d__(a，b，c，d∈R)． 5．模：|z|＝. [微提醒]　(1)一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0. (2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件． 知识点二　复数的运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__ . (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d)i__ . (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__ . (4)除法：＝＝＝　＋i　(c＋di≠0)． 2．复数加法的运算定律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： (1)交换律：z1＋z2＝__z2＋z1__ . (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__ . 知识点三　复数的几何意义 [微提醒]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)． 1．i的乘方的周期性 in＝(k∈Z) 2．复数的模与共轭复数的关系 z·＝|z|2＝||2. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．(　　) (3)原点是实轴与虚轴的交点．(　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　) (5)复数z＝－1＋2i的共轭复数对应的点在第四象限．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．复数的虚部是(　　) A．－ B．－ C. D. 解析　＝＝＝＋i，所以虚部为. 答案　D 3．(教材改编)＝(　　) A．－－i B．－＋i C．－－i D．－＋i 解析　＝＝＝－＋i. 答案　D 4．(易错)已知z＝(m＋1)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 解析　要使复数z对应的点在第四象限，应满足解得－1<m<1. 答案　A 5．(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝(　　) A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i 解析　由题意结合复数的运算法则即可求得z的值．由题意可得z＝＝＝＝3－4i.故选C. 答案　C 考点一　复数的有关概念(师生共研) [例1]　(1)(2021·南京模拟)若为实数，则实数a的值为(　　) A．2 B．－ C. D．－2 (2)(2021·贵阳四校联考)已知z(1＋i)＝1＋ai，i为虚数单位，若z为纯虚数，则实数a＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 (3)已知a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b等于(　　) A．－1 B．－ C. D．1 [解析]　(1)＝＝＋i， 因为为实数，所以＝0，解得a＝－.故选B. (2)法一　因为z(1＋i)＝1＋ai，所以z＝＝＝，因为z为纯虚数， 所以＝0且≠0，解得a＝－1，故选A. 法二　设z＝x＋yi(x∈R，y∈R)，因为z(1＋i)＝1＋ai，所以(x＋yi)(1＋i)＝1＋ai，即(x－y)＋(x＋y)i＝1＋ai，由复数相等的充要条件可得 解得因为z为纯虚数， 所以x＝0且y≠0，解得a＝－1，故选A. 法三　因为z为纯虚数， 所以可设z＝bi(b∈R，且b≠0)，则z(1＋i)＝1＋ai，即 bi(1＋i)＝1＋ai，所以－b＋bi＝1＋ai，所以 解得a＝b＝－1，故选A. (3)由＝i