第11章 6 概率与统计的综合问题（教师word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第六节　概率与统计的综合问题 考点一　概率模块内知识交汇命题(师生共研) [例1]　(2021·石家庄检测)“T2钻石联赛”是国际乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式，即常规模式和“FAST5”模式，在前24分钟内进行的常规模式中，每局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两位选手在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式．某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束，现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式中，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立． (1)求4局比赛决出胜负的概率； (2)设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲、乙总共进行的局数记为X，求X的分布列及数学期望． [解析]　(1)设前24分钟比赛中第i局比赛甲获胜为事件Ai(i＝1,2,3)，第i局比赛乙获胜为事件Bi(i＝1,2,3)，在“FAST5”模式中每局比赛甲获胜为事件C,4局比赛决出胜负为事件D， 则P(D)＝P(A1A2CC＋A1A2A3C＋B1B2＋B1B2B3)＝2×2＋3×＋2×2＋3×＝. (2)由题意知X的所有可能取值为4,5,6,7， P(X＝4)＝3×＋3×＝； P(X＝5)＝3×2＋C×2××2＋C××2×2＋3×2＝； P(X＝6)＝3×3＋C×2××C×3＋C××2×3＋3×3＋C×2××C×3＋C××2×3＝； P(X＝7)＝3×4＋C×2××C×4＋C××2×C×4＋3×4＋3×4＋C×2××C×4＋C××2×C×4＋3×4＝. 所以随机变量X的分布列为 X 4 5 6 7 P X的数学期望E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＝. [方法策略] 高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件． [跟踪训练] 为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染，下面是两种化验方案． 方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止． 方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测． (1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率； (2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳． 解析　设Ai(i＝1,2,3,4,5)表示方案甲所需化验次数为i次；Bj(j＝2,3)表示方案乙所需化验的次数为j次，方案甲与方案乙相互独立． (1)P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，P(A5)＝，P(B2)＝＋＝，P(B3)＝1－P(B2)＝，用事件D表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数， 则P(D)＝P(A2B2＋A3B3)＝P(A2)P(B2)＋P(A3)· P(B3)＝×＋×＝. (2)η的可能取值为1,2,3,4,5.ξ的可能取值为2,3. 由(1)知P(η＝1)＝P(η＝2)＝P(η＝3)＝P(η＝4)＝，P(η＝5)＝， 所以E(η)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝， P(ξ＝2)＝P(B2)＝，P(ξ＝3)＝P(B3)＝， 所以E(ξ)＝2×＋3×＝. 因为E(ξ)<E(η)，所以从经济角度考虑方案乙最佳． 考点二　概率与统计、统计案例的交汇命题(师生共研) [例2]　(2021·济南模拟)某工厂有两台不同的机器A和B，生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行质量鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示． 该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩在[90,100)内的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩在[80,90)内的产品，质量等级为良好；鉴定成绩在[60,80)内的产品，质量等级为合格．将频率视为概率． (1)从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X为来自B机器生产的产品数量，写出X的分布列，并求X的数学期望； (2)完成下列2×2列联表，以产品质量等级是否达到良好以上(含良好)为判断依据，判断能