第2章 微专题 高考增分策略3（教师word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

求函数最值的常用方法 方法一　配方法 配方法是求二次型函数最值的基本方法，如y＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法． [例1]　已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值． [思路]　将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量ex＋e－x的二次函数． [解析]　y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2 ＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令t＝ex＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2. ∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞). ∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a， ∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2. 综上，当a≤2且a≠0时， y的最小值为2(a－1)2； 当a>2时，y的最小值为a2－2. 方法二　换元法 换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角换元解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题． [例2]　(1)函数f(x)＝x＋2的最大值为________ . (2)函数y＝x－的最大值为________，最小值为________ . [解析]　(1)设＝t(t≥0)，∴x＝1－t2. ∴y＝x＋2 ＝1－t2＋2t＝－(t－1)2＋2. ∴当t＝1即x＝0时，ymax＝2. (2)由4－x2≥0，得－2≤x≤2，∴设x＝2cos θ(θ∈[0，π])，则y＝2cos θ－＝2cosθ－2sin θ＝2cos ，∵θ＋∈， ∴cos ∈，∴y∈[－2，2]. [答案]　(1)2　(2)2　－2 方法三　不等式法 主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法． [例3]　(1)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 (2)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　) A．[－1，2] B．[－1，0] C．[1，2] D．[0，2] [解析]　(1)法一　由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab ＝b＋2a≥2·，当且仅当b＝2a时取等号，∴ab≥2.故选C. 法二　由题设易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，当且仅当b＝2a时取等号，即ab≥2.故选C. (2)∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0. 当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”． 要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解之，得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D. [答案]　(1)C　(2)D 方法四　单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现． [例4]　设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________ . [思路]　先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值． [解析]　∵a>1，∴函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上是增函数，∴函数在区间[a，2a]上的最大值与最小值分别为loga2a，logaa＝1.∴loga2＝，a＝4.故填4. [答案]　4 方法五　平方法 对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题． [例5]　已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为(　　) A． B． C． D． [思路]　本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题．进而可以利用二次函数的最值解决． [解析]　由题意，得 所以函数的定义域为{x|－3≤x≤1}． 两边平方，得 y2＝4＋2 ·＝4＋2 ＝4＋2＝4＋2. 所以当x＝－1时，y取得最大值M＝2； 当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，故选C. [答案]　C 方法六　数形结合法 数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法． [例6]　对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________ . [思路]　本题实质上是一个分段函数的最值问题．先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解． [解析]　由|x＋1|≥|x－2|， 得(x＋1)2≥(x－2)2.所以x≥. 所以f(x)＝其图象如图所示． 由图象易知，当x＝时，函数有最小值， 所以f(