第2章 微专题 高考增分策略2（教师word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题． [例1]　(2022·长安模拟)已知著名的狄利克雷函数f(x)＝其中R为实数集，Q为有理数集，若m∈R，则f(f(f(m)))的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．无法求 [解析]　若m∈Q，则f(m)＝1，所以f(f(f(m)))＝f(f(1))＝f(1)＝1. 若m∈∁RQ，则f(m)＝0，所以f(f(f(m)))＝f(f(0))＝f(1)＝1.故选B. [答案]　B [点评]　本题是以狄利克雷函数为背景创设的函数题，考查了逻辑推理和数学运算核心素养．破解本题的关键：一是明确狄利克雷函数的实质是分段函数，理解集合∁RQ表示无理数集；二是分类讨论，需对m分“是有理数”“是无理数”两类讨论；三是注意从内向外逐层脱去“外衣”f，即可求出所求函数值． [例2]　黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间[0，1]上的函数R(x)＝ 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈[0，1]时，f(x)＝R(x)，则f＋f(lg 30)＝________ . [解析]　由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0， 所以f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)， 所以2是函数f(x)的周期， 则f＝f＝f＝－f＝－R＝－， f(lg 30)＝f(lg 3＋lg 10)＝f(lg 3＋1)＝f(lg 3－1)＝－f(1－lg 3)＝－R(1－lg 3)＝0，所以f＋f(lg 30)＝－. [答案]　－ [点评]　本题以黎曼函数为背景，将函数的奇偶性和周期性、求函数值交汇，考查了逻辑推理和数学运算核心素养．破解本题的关键是判断函数f(x)的奇偶性与周期性，然后利用函数的奇偶性与周期性进行转化，把自变量的取值“转移”到区间[0，1]上，即可求出所求结果． 保分练 1．函数的定义域为(　　) A．(－∞，3] B．(1，＋∞) C．(1，3] D．[3，＋∞) 解析　依题意 (x－1)＋1≥0， 即 (x－1)≥－1， ∴ 解得1<x≤3. 答案　C 2．下列函数中，定义域与值域相同的是(　　) A．y＝ B．y＝ln x C．y＝ D．y＝ 解析　y＝＝1＋， 函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}，故选D. 答案　D 3．函数f(x)＝loga(mx＋1)的定义域为(－∞，2)，则m的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．2 解析　依题意mx＋1>0的解集为(－∞，2)， 则∴m＝－. 答案　B 4．下列函数中值域不为R的是(　　) A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg (x2－2) C．f(x)＝ D．f(x)＝x3－1 解析　A项，f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R； B项，由x2－2>0得x>或x<－， 此时f(x)＝lg (x2－2)的值域为R； C项，f(x)＝当x>2时，f(x)＝2x>4， 当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0，4]，所以f(x)≥0， 即函数的值域为[0，＋∞)； D项，f(x)＝x3－1是增函数， 函数的值域为R. 答案　C 5．函数y＝＋1的值域为(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．[0，＋∞) D．[1，＋∞) 解析　函数y＝＋1，定义域为[1，＋∞)，且该函数为增函数，当x＝1时，该函数取得最小值1，故函数y＝＋1的值域为[1，＋∞). 答案　D 6．函数y＝的定义域为(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，2] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析　由题意得－3·2x－4≥0， 即22x－3·2x－4≥0. ∴(2x－4)(2x＋1)≥0， 解得x≥2.故选A. 答案　A 7．已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为(　　) A．(－1，0) B．(－2，0) C．(0，1) D． 解析　由题意，知－1<x＋1<1，则f(x)的定义域为(－1，1).令－1<2x－1<1，得0<x<1.∴f(2x－1)的定义域为(0，1). 答案　C 8．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的取值范围为(　　) A．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C．(2，4) D．[2，4] 解析　函数y＝x2－4x－4的对称轴方程为x＝2