第2章 微专题 情境创新命题2（教师word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

[例1]　(2021·泉州模拟)已知组成北斗三号全球卫星导航系统的卫星中包含地球静止轨道卫星，它的运行轨道为圆形轨道，每小时运行的轨迹对应的圆心角为，若将卫星抽象为质点，以地球球心为原点，在卫星运行轨道所在平面建立平面直角坐标系，则以下函数模型中最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是(　　) A．指数函数模型 B．对数函数模型 C．幂函数模型 D．三角函数模型 [解析]　如图，不妨假设卫星与地球球心的距离为R，卫星运行方向为顺时针，初始位置在点P0处，OP0与x轴正半轴的夹角为φ，经过t小时后，卫星在点P处，则OP与x轴正半轴的夹角为φ－t，则点P的纵坐标y＝R sin . 所以最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是三角函数模型．故选D. [答案]　D [点评]　本题以“北斗三号全球卫星导航系统”为背景考查三角函数的定义、质点的轨迹等知识，意在考查数学建模、逻辑推理和数学运算核心素养．求解此类题的关键是能从长串的文字语言中提炼出关键字眼，并能根据关键字眼寻找轨迹方程，即可判断函数模型． [例2]　中国高铁的快速发展给群众的出行带来巨大便利，极大地促进了区域经济社会的发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分)满足5≤t≤25，t∈N*，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t有关：当20≤t≤25时，高铁为满载状态，载客量为1000人；当5≤t<20时，载客量会在满载的基础上减少，减少的人数与(20－t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时高铁的载客量为100人．记发车时间间隔为t分钟时，高铁的载客量为P(t). (1)P(t)的表达式为________； (2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)＝P(t)－40t2＋650t－2000，则t＝________分钟时，单位时间的净收益最大． [解析]　(1)当5≤t<20时，不妨设P(t)＝1000－k(20－t)2(k≠0)， 因为P(5)＝100，所以1000－k(20－5)2＝100， 解得k＝4. 因此P(t)＝ (2)①当5≤t<20时，Q(t)＝P(t)－40t2＋650t－2000＝－t3＋500t－2000， 因此y(t)＝＝－t2－＋500，5≤t<20. 因为y′(t)＝－2t＋＝， 当5≤t<10时，y′(t)>0，y(t)单调递增， 当10<t<20时，y′(t)<0，y(t)单调递减， 所以y(t)max＝y(10)＝200. ②当20≤t≤25时，Q(t)＝－40t2＋900t－2000， 因此y(t)＝＝900－40，20≤t≤25. 因为y′(t)＝<0，所以y(t)单调递减， 所以y(t)max＝y(20)＝0. 综上，当发车时间间隔为10分钟时，单位时间的净收益最大． [答案](1)P(t)＝ (2)10 [点评]　解决此类以生活实例为背景的考查分段函数模型的题的关键：一是认真读题，构建函数模型，如本题，构建分段函数模型；二是解模，即根据题意把所求的问题转化为求最值问题，并利用导数判断分段函数在各段上的单调性，从而求出最值． 保分练 1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　) 解析　前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A. 答案　A 2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A．y＝2x－2 B．y＝(x2－1) C．y＝log2x D．y＝logx 解析　由题表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B. 答案　B 3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，则杂志的最高定价是每本(　　) A．2.4元 B．3元 C．2.8元 D．3.2元 解析　设每本定价为x(x≥2)元，销售总收入是y元，则y＝·x＝104·x(9－2x). 令y≥9×104，得2x2－9x＋9≤0⇒≤x≤3.故选B. 答案　B 4．(2021·九师联盟)已知海面上的大气压强是760 mmHg，大气压强p(单位：mmHg)和高度h(单位：m)之间的关系为p＝760e－hk(e是自然对数的底数，k是常数).根据实验知500 m高空处的大气压