第2章 微专题 高考增分策略4（教师word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

函数的奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为繁琐，若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果，以下撷取近年高考题和联赛题为例，归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用． [拓广1]　若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c. [证明]　由于函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋c＋f(x)＋c＝2c. [应用]　对于函数f(x)＝a sin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　) A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 [解析]　设g(x)＝a sin x＋bx，则f(x)＝g(x)＋c，且函数g(x)为奇函数．注意到c∈Z，所以f(1)＋f(－1)＝2c为偶数．故选D. [答案]　D [点评]　由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数．有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能应用． [拓广2]　已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0. [应用]　设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________ . [解析]　显然函数f(x)的定义域为R， f(x)＝＝1＋， 设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. [答案]　2 [拓广3]　若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|). [证明]　当x≥0时，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)；当x<0时，f(|x|)＝f(－x)，由于函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x). 综上，若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|). [应用]　设函数f(x)＝ln (1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　) A． B．∪(1，＋∞) C． D．∪ [解析]　易知函数f(x)的定义域为R， 且f(x)为偶函数． 当x≥0时，f(x)＝ln (1＋x)－， 易知此时f(x)单调递增． 所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)， 所以|x|>|2x－1|，解得<x<1.故选A. [答案]　A [点评]　本例结合偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，减少了不必要的讨论，极大地减少了运算量． 保分练 1．若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k的值为(　　) A．－2 B．0 C．1或－1 D．2 解析　因为f(x)在定义域上为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，即＝， 即＝， 根据等式恒成立，可得k＝±1. 答案　C 2．函数f(x)＝的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析　f(x)＝＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x， ∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称． 答案　B 3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)等于(　　) A．－2 B．0 C．2 D．1 解析　∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2， ∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)， ∴f(1)＝0， f＝f＝－f＝－4＝－2， ∴f＋f(1)＝－2. 答案　A 4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2025)等于(　　) A．－3 B．0 C．1 D．3 解析　用－x替代x，得f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)， ∴T＝6，∴f(2025)＝f(337×6＋3)＝f(3). ∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0， 即f(2025)＝0. 答案　B 5．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则下列结论不成立的是(　　) A．f(2)>f(3) B．f(2)＝f(6) C．f(3)＝f(5) D．f(3)>f(6) 解析　∵y＝f(x＋4)为偶函数， ∴f(－x＋