第2章 3 奇偶性、对称性与周期性（教师word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第三节　奇偶性、对称性与周期性 高考要求 考向规律 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识． 2．考查题型：选择题、填空题． 知识点一　函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)是偶函数 都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于__y轴__对称 关于__原点__对称 知识点二　函数的周期性 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__最小的正数__，那么这个__最小正数__就叫做f(x)的最小正周期． [微提醒]　并不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5. 1．奇(偶)函数定义的等价形式 (1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数． (2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数． 2．设f(x)的最小正周期为T，对f(x)的定义域内任一自变量的值x，有如下结论 (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2|a|. (2)若f(x＋a)＝，则T＝2|a|. (3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|. 3．对称性与周期性之间的常用结论 (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则函数f(x)的最小正周期T＝2|b－a|. (2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的最小正周期T＝2|b－a|. (3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)对称，则函数f(x)的最小正周期T＝4|b－a|. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(　　) (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称．(　　) (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．(　　) (4)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (5)若T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 2．(课本习题改编)下列函数中为奇函数的是________；为偶函数的是________ .(填序号) ①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝；④f(x)＝x3＋1；⑤y＝x2sin x；⑥y＝|ln x|. 答案　②③⑤　① 3．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列各点一定在函数y＝f(x)图象上的是(　　) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a)) 解析　∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a).即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图象上． 答案　B 4．(活用结论)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋1)＝f(x－3)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝－2x，则f(1)＋f(4)＝________ . 解析　由于f(x＋1)＝f(x－3)，故f(x)＝f(x－4)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)为奇函数，故f(1)＋f(4)＝－f(－1)＋f(0)＝2－1＋0＝. 答案　 考点一　判断函数的奇偶性(师生互动) [例1]　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＝； (2)f(x)＝ln ； (3)f(x)＝ (4)f(x)＝log2(x＋). [解析]　(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函数f(x)的定义域为{－，}，关于原点对称． 从而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称， f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－