第2章 9 函数模型及其应用（教师word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第九节　函数模型及其应用 高考要求 考向规律 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用． 1．考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，多涉及现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问题中的增长、减少问题． 2．考查题型：选择题、填空题． 知识点一　几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函 数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 知识点二　三种函数模型的性质 　　　函数 性质　　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与__y轴__平行 随x的增大逐渐表现为与__x轴__平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．(　　) (4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意． 答案　D 3．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析　设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由<，得n≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”． 答案　C 4．某物体一天中的温度T是关于时间t的函数，且T＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当t＝0时表示中午12：00，其后t值为正，则上午8时该物体的温度是____________ . 解析　由题意知，上午8时，即t＝－4， 因此所求温度T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8 ℃ 答案　8 ℃ 5．已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Q＝m·2t＋21－t(t≥0，且m>0).若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是____________ . 解析　由题意，得m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0，且m>0)， 又m·2t＋21－t≥2， ∴2≥2，∴m≥. 答案　 考点一　用函数图象刻画变化过程(自主练透) 1. 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　) 解析　v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B. 答案　B 2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　) A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽