第2章 7 对数与对数函数（教师word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第七节　对数与对数函数 高考要求 考向规律 1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型． 4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1). 1．利用对数函数的性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等是高考考查的热点． 2．考查题型：选择题、填空题． 知识点一　对数 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__x＝logaN__，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． 以__10__为底的对数叫做常用对数，记作lg N. 以__e__为底的对数叫做自然对数，记作ln N． 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝__0__，logaa＝__1__，alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝__logaM＋logaN__； ②loga＝__logaM－logaN__； ③logaMn＝__nlogaM__(n∈R). (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). [微提醒]　(1)应用换底公式时，一般选用e或10作为底数．(2)表中有关公式均是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立． 知识点二　对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 __(0，＋∞)__ 值域 __R__ 性 质 过定点__(1，0)__，即x＝1时，y＝0 当x>1时，__y>0__； 当0<x<1时，__y<0__ 当x>1时，__y<0__； 当0<x<1时，__y>0__ 在(0，＋∞)上是__增函数__ 在(0，＋∞)上是__减函数__ [微提醒]　当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． 知识点三　反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数__y＝logax__(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称． [微提醒]　(1)函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称． (2)函数y＝ax与y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． (3)函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称． (4)反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域，互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性． 1．对数的性质(a>0且a≠1) (1)loga1＝0.(2)logaa＝1.(3)alogaN＝N. 2．换底公式及其推论 (1)logab＝(a，c均大于0且不等于1，b>0). (2)logab·logba＝1，即logab＝. (3)logbn＝logab. (4)logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (2)对函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.(　　) (3)函数y＝ln 与函数y＝ln (1＋x)－ln (1－x)是相等函数．(　　) (4)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改编)函数的定义域是________ . 解析　由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1. ∴<x≤1. ∴函数的定义域是. 答案　 3．(活用结论)计算：(log29)·(log34)＝________ . 解析　(log29)·(log34)＝×＝×＝4. 答案　4 4．(易错)设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝________ . 解析　∵函数f(x)＝3x＋9x， 答案　6 5．已知，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b 解析　∵0<a<1，b＝log2＝－log23<0， c＝log＝log23>1.∴c>a>b. 答案　D 考点一　对数式的运算(师生共研) [例1]　计算： (1)lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2； (3)