第2章 6 指数与指数函数（教师word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第六节　指数与指数函数 高考要求 考向规律 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型． 1．与指数函数有关的试题，大都以其性质及图象为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数，考查分类讨论． 2．考查题型：选择题． 知识点一　根式 1．一般地，如果xn＝a，那么__x__叫做a的n次方根． 2．式子叫做__根式__，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 3．()n＝__a__ . 当n为奇数时，＝__a__， 当n为偶数时，＝|a|＝ 知识点二　有理数指数幂 1．分数指数幂 正数的正分数指数幂， 正数的负分数指数幂， (a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂为__0__，0的负分数指数幂没有意义． 2．指数幂的运算性质 aras＝__ar＋s__；(ar)s＝__ars__；(ab)r＝__arbr__(a>0，b>0，r，s∈Q). 知识点三　指数函数及其性质 1．概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． 2．指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 __(0，＋∞)__ 性质 过定点__(0，1)__，即x＝0时，y＝1 当x>0时，__y>1__； 当x<0时，__0<y<1__ 当x<0时，__y>1__； 当x>0时，__0<y<1__ 在R上是__增函数__ 在R上是__减函数__ [微提醒]　(1)当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论．(2)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) ＝π－4.(　　) (　　) (3)函数y＝a－x(a>0，且a≠1)是R上的增函数．(　　) (4)函数y＝ax(a>0，且a≠1)与x轴有且只有一个交点.(　　) (5)若am>an，则m>n.(　　) (6)函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ 2．(教材改编)化简(x<0，y<0)得(　　) A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 答案　D 3．(易错)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝____________ . 解析　依题意解得a＝2. 答案　2 4．(教材改编)函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________ . 答案　(1，3) 5．已知a＝，则a，b，c的大小关系是________ . 解析　∵y＝是R上的减函数， ∴c<b<a. 答案　c<b<a 6．(易错题)函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________ . 解析　当a>1时，f(x)＝ax为增函数， 则a1＝2，∴a＝2满足题意， 当0<a<1时，f(x)＝ax为减函数， 则a－1＝2， ∴a＝满足题意， 综上有a＝2或. 答案　2或 考点一　指数幂的运算(自主练透) 1．计算：＝________ . 解析　 ＝4－1＋π－3＋23＝π＋8. 答案　π＋8 2．计算：＝________(a>0，b>0). 解析　 答案　 解析　 再平方得x2＋x－2＝47. ∴x2＋x－2－2＝45. (x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18. 答案　 [练后悟通] 指数幂的运算技巧 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂，以便利用法则计算．但应注意：①必须同底指数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时．先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 考点二　指数函数的图象及应用(多维探究) 角度一　图象的识别 [例1－1]　(1)定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是(　　) (2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 [解析]　(1)因为当x≤0时，2x≤1； 当x>0时，2x>1. 所以f(x)＝1⊕2x＝故选A. (2)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1. 又f(0