第2章 5 幂函数与2次函数（教师word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第五节　幂函数与二次函数 高考要求 考向规律 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况． 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 1．以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题．着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想． 2．考查题型：选择题． 知识点一　幂函数 1．幂函数的定义 一般地，函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R __{y|y≥0}__ R __{y|y≥0}__ __{y|y≠0}__ 奇偶性 __奇__函数 __偶__函数 __奇__函数 __非奇非__ __偶__函数 __奇__函数 单调性 在R上 单调递 增　　 在__(－∞，0]__上单调递减；在__(0，＋∞)__上单调递增 在R上单调递增 在__[0，＋∞)__上单调递增 在__(－∞，0)__和__(0，＋∞)__上单调递减 公共点 __(1，1)__ 知识点二　二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 __R__ __R__ 值域 ____ ____ 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈____上单调递增 在x∈____上单调递增； 在x∈____上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 设函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若对区间[a，b]有f(a)≥0，f(b)≤0，则曲线必与x轴相交(至少有一个交点，且交点必在[a，b]上). 设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两根，根的分布对照y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象，知其等价不等式组的关系是： ①若x1<x2<m，则Δ>0，f(m)>0，－<m； ②若m<x1<x2，则Δ>0，f(m)>0，－>m； ③若x1<m<x2，则Δ>0，f(m)<0； ④若x1，x2∈(m1，m2)，则Δ>0，f(m1)>0，f(m2)>0，m1<－<m2； ⑤若x1，x2有且仅有一个在(m1，m2)内，则Δ>0，f(x1)·f(m2)<0. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是幂函数．(　　) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是.(　　) (4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　) A． B．1 C． D．2 解析　由幂函数的定义，知 ∴k＝1，α＝.∴k＋α＝. 答案　C 3. 如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．a<c<b 答案　D 4．(易错)幂函数为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2， f(x)＝x(a－5)2－2(a∈Z)为偶函数， 且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4，5，6， 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C. 答案　C 5．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域为________ . 解析　由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]， 得g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数， 所以g(x)min＝g(1)＝－1， 因为g(0)＝0，g(3)＝3， 所以g(x)在x∈[0，3]上的值域为[－1，3]. 答案　[－1，3] 6．函数y＝x2－ax＋1在区间[－1，2]内单调，则实数a的取值范围是________ . 解析　函数y＝x2－ax＋1的对称轴为x＝， 则≤－1或≥2，解得a≤－2或a≥4. 答案　(－∞，－2]∪[4，＋∞) 考点一　幂函数的图象与性质(自主练透) 1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)