第1章 微专题 高考增分策略1（教师word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达．解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质． 一、形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g(x2)＝f(x1)成立” [例1]　已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1,1]，总存在x2∈[0,2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围． [解析]　由题意知，g(x)在[0,2]上的值域为. 令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－.当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以解得实数a的取值范围是[－2,0]． [点评]　理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围． 二、形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立” [例2]　已知函数f(x)＝ 函数g(x)＝ksin －2k＋2(k＞0)，若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围． [解析]　由题意，易得函数f(x)的值域为[0,1]，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分．先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>，所以要使两个值域有公共部分，k的取值范围是. [点评]　本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想．另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围． 三、形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)<g(x2)成立” [例3]　已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________ . [解析]　依题意知f(x)max≤g(x)max. ∵f(x)＝x＋在上是减函数， ∴f(x)max＝f＝. 又g(x)＝2x＋a在[2,3]上是增函数， ∴g(x)max＝8＋a， 因此≤8＋a，则a≥. [答案]　 [点评]　理解量词的含义，将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max，利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式求得a的取值范围． 保分练 1．命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是(　　) A．∃x0∉∁RQ，x∈Q B．∃x0∈∁RQ，x∈Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q 解析　该特称命题的否定为“∀x∈∁RQ，x3∉Q”． 答案　D 2．(2022·沧州七校联考)“∀x∈R,2x－<1”的否定为(　　) 解析　由全称命题的否定是特称命题可得“∀x∈R,2x－<1”的否定为“∃x0∈R, ≥1”．故选D. 答案　D 3．(2022·广东梅州质检)下列命题中的假命题是(　　) A．∀x∈R，ex－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，ln x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 解析　因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题．故选B. 答案　B 4．命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p∨(¬q)表示(　　) A．甲、乙两人的数学成绩都低于100分 B．甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分 C．甲、乙两人的数学成绩都不低于100分 D．甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分 解析　由于命题q：乙的数学成绩低于100分，因此¬q：乙的数学成绩不低于100分．所以p∨(¬q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分． 答案　D 5．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lg}，则下列命题中真命题的个数是(　　) ①∃m∈A，m∉B；②∃m∈B，m∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A. A．4 B．3 C．2 D．1 解析　因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lg }，所以B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以①④为真命题，②③为假命题，所以真命题的个数为2.故选C. 答案　C 6．(2022·成都模拟)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题