24.3.1 圆周角定理及推论-2022-2023学年九年级数学下册同步教学课件（沪科版）

圆周角定理及推论 24.3.1 圆周角定理及推论 学习目标 1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2. 理解圆周角与圆心角的关系，并能运用圆周角定 理解决简单的几何问题.（重点、难点） 3. 理解并掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运 用. （难点） 24.3.1 圆周角定理及推论 问题1 什么是圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角. 问题2 圆心角的度数与它所对弧的度数是什么关系？ 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. . O B C 复习引入 24.3.1 圆周角定理及推论 3 讲授新课 圆周角的定义 如图，△ABC内接于⊙O，这时A、B、C三点都在圆上. 思考：∠ACB有什么特点？ A B O C 像这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角. 24.3.1 圆周角定理及推论 4 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判断：下列各图中的∠BAC是否为圆周角，并简述理由. 顶点不在圆上 顶点A不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ 24.3.1 圆周角定理及推论 圆周角定理 探 究 如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系? 你能证明吗？ O A C B 24.3.1 圆周角定理及推论 　　（1）在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？ B C O A B C O A B C O A ⌒ 24.3.1 圆周角定理及推论 （2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 第一种情况： B C O A ∵　OA=OC， ∴　∠A=∠C． 又∵　∠BOC=∠A+∠C， ∴ 证明： 24.3.1 圆周角定理及推论 证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D ∵OA=OB， ∴∠BAD=∠B． 又∵∠BOD=∠BAD+∠B， 第二种情况： B C O A 同理， ∴ ∴ D 24.3.1 圆周角定理及推论 = ∠BOC ∴∠BAC= ∠DOC- ∠DOB ∠DAB= ∠DOB 又∵∠DAC= ∠DOC B C O A D 第三种情况： 证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D ∵∠BAC=∠DAC-∠DAB 24.3.1 圆周角定理及推论 B C O A B C O A B C O A 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半 24.3.1 圆周角定理及推论 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于( ) A．40° B．50° C．60° D．70° 解析：⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC, 所以∠OBC=∠OCB=50°，∠BOC=80°， ∠A= ∠BOC= ×80°=40°. A 例1 24.3.1 圆周角定理及推论 圆周角定理的推论 问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ，D 是圆上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由. D ∴∠BAC=∠BDC. 解：相等.理由如下： ∵ 24.3.1 圆周角定理及推论 D A B O C E F 问题2 如图，若 ∠A与∠B相等吗？ 相等 想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？ (2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？ 24.3.1 圆周角定理及推论 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论1： O A C1 C2 C3 B 24.3.1 圆周角定理及推论 思考：如图，AC是⊙O的直径， 则∠ADC = ， ∠ABC= . 90° 90° 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. O A C B D 24.3.1 圆周角定理及推论 例2 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. (1) 求DC的长； 解：∵AC是⊙O的直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中， . O A D C 24.3.1 圆周角定理及推论 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD = 60°，∠ADC=70°. 求∠APC的度数. . O A D C P B 解：连接BC，如图，∠ACB=90°， ∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60°=30°. 又