4.2.2等差数列的前n项和（第1课时）（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第 4 章 数列 人教A版2019选修第一册 4.2.2等差数列的前n项和（第1课时） 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 02等差数列前n项和的基本运算 目录 01等差数列前n项和公式推导 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 2 学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法．(难点) 2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．(重点) 3.掌握等差数列的前n项和的简单性质．(重点、难点) 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 回顾：等差系列公式 1. 等差数列定义： 2. 等差数列通项公式： (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数) (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). an－an－1 ＝d (n≥2) 或 an+1－an ＝d. 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 18 3. 几种计算公差d的方法: 4. 等差中项 A= m＋n＝p＋q  am＋an＝ap＋aq . 5. 等差数列的性质 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 1. 等差数列前n项和的公式推导 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 高斯(1777－1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100＝？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？谁算不出来，就不准回家吃饭！”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说： “老师，我算出结果来了，是 5 050！”老师和其他同学都很 吃惊.你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？ 情景到入 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法。 1 + 2 + 3 +…+98+99+100=？ 倒序100+99+98+…+ 3+ 2+ 1=？ + + + + + + + 作 加 法 + + + + + + + 作 加 法 多少个101 ? 100个101 所以 (1+100)×100 首项 尾项 总 和 + × 项数 2×？=101+101+101+…101+101+101 // // // // // \\ \\ + + + + + + + 作 加 法 =5050 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 等差数列中，下标和相等的两项和相等. 设 an＝n，则 a1＝1，a2＝2，a3＝3，… 如果数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*， 且 p＋q＝s＋t，则 ap＋aq＝as＋at 可得： 探究新知 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 问题2： 你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？ 问题3： 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 探究新知 需要对项数的奇偶进行分类讨论. 当n为偶数时， + 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 探究新知 当n为奇数数时， n－1为偶数 + 个 问题3： 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 所以对任意正整数n，都有1＋2＋3＋… ＋n. 问题4：涉及对 n 分奇数、偶数进行讨论，较麻烦，能否设法避免分类讨论？ 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 建筑工地叠放钢管： 我们换一一思路，得到下面的方法： 倒序相加法 探究新知 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 问题5.上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 倒序相加法 . 宋老师数学精品工作室 Sn=a1+(a1+d)+ (a1+2d) +…….+ [a1+(n-1) d] Sn =an+(an- d)+ (an-2d) +…… +[ an-(n-1) d ] 两式相加得：