【技巧归纳+能力拓展】专项突破一 解三角形（考点2 解三角形）-备战2023年高考数学二轮复习《大题拆小做 题型轻松过》专项训练（新高考专用）

新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项一 解三角形 考点2 解三角形 大题 拆解技巧 【母题】(2020年全国Ⅱ卷)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求A; (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值. 【拆解1】△ABC中,已知sin2A-sin2B-sin2C=sin B sin C,求A. 【解析】由正弦定理可得BC2-AC2-AB2=AC·AB, ∴cos A==-, ∵A∈(0,π),∴A=. 【拆解2】若BC=3,A=,求证(AC+AB)2-AC·AB=9. 【解析】由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA ∴AC2+AB2+AC·AB=9,即(AC+AB)2-AC·AB=9. 【拆解3】已知BC=3,且(AC+AB)2-AC·AB=9,求△ABC周长的最大值. 【解析】∵AC·AB≤（）2(当且仅当AC=AB时取等号), ∴9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-2=(AC+AB)2, 解得AC+AB≤2(当且仅当AC=AB时取等号), ∴△ABC的周长L=AC+AB+BC≤3+2, ∴△ABC周长的最大值为3+2. 小做 变式训练 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=b(sin A+cos A). (1)求B; (2)若b=3,求△ABC周长最大时,△ABC的面积. 【拆解1】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=b(sin A+cos A),求B. 【解析】∵c=b(sin A+cos A), ∴sin C=sin B·(sin A+cos A), ∴sin(A+B)=sin Bsin A+sin Bcos A, ∴sin Acos B+sin Bcos A=sin Bsin A+sin Bcos A, ∵A∈(0,π),∴sin A≠0, ∴cos B=sin B,∴tan B=, ∵0<B<π,∴B=. 【拆解2】已知B=,若b=3,求△ABC周长的最大值. 【解析】∵cos B=,B=, ∴=, ∴b2=a2+c2-ac,∴9=(a+c)2-3ac,∴9≥(a+c)2-32=,当且仅当a=c=3时等号成立, a+c的最大值为6, ∴周长的最大值为9. 【拆解3】已知条件不变,求△ABC周长最大时,△ABC的面积. 【解析】当a=c=3时,a+c取得最大值,即周长取得最大值, 此时S△ABC=×3×3×sin =. 通法 技巧归纳 1.三角形中的最值、范围问题的解题策略 解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形的性质求解即可. 2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点 (1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化. (2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0<A<π,b-c<a<b+c,三角形中大边对大角等. 突破 实战训练 <基础过关> 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sin2=sin(A+B)+1. (1)求角C的大小; (2)若a=,c=1,求△ABC的面积. 【解析】(1)在△ABC中,A+B+C=π,即A+B=π-C, 所以sin(A+B)=sin C, 因为2sin2=sin(A+B)+1, 所以2sin2=sin C+1, 可得2cos2=sin C+1, 所以1+cos C=sin C+1,即cos C=sin C,所以tan C=, 因为C∈(0,π),所以C=. (2)由正弦定理可得=,因为a=,c=1,所以sin A=, 因为a>c且A∈(0,π),所以A=或A=,所以B=或B=, 当B=时,S△ABC=acsin B=;当B=时,S△ABC=acsin B=. 2.在①2asin C=ctan A;②2acos B=2c-b;③2cos2=cos 2A+1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知________.  (1)求A的值; (2)若△ABC的面积为,周长为5,求a的值. 【解析】选①.(1)已知2asin C=ctan A,利用正弦定理得2sin Asin C=sin C·,因为0<A<π,0<C<π,所以sin A≠0,sin C≠0,整理得cos A=,由于0<A<π,所以A=. (2)由S△ABC=bcsin A=bc=,解得bc=1. 由于a+b+c=5,所以a=5-(b+c), 利用余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b