【技巧归纳+能力拓展】专项突破二 数列（考点2 数列中的开放题）-备战2023年高考数学二轮复习《大题拆小做 题型轻松过》专项训练（新高考专用）

新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项二 数列 考点2 数列中的开放题 大题 拆解技巧 【母题】(2021年全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1. 【拆解1】已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,数列{an}是等差数列,数列{}是等差数列,求证:a2=3a1. 【解析】设=an+b(a>0),则Sn=(an+b)2, 当n=1时,a1=S1=(a+b)2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an+b)2-(an-a+b)2=a(2an-a+2b). 因为{an}也是等差数列,所以(a+b)2=a(2a-a+2b),解得b=0. 所以an=a2(2n-1),所以a2=3a1. 【拆解2】已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,数列{an}是等差数列,a2=3a1,求证:数列{}是等差数列. 【解析】因为a2=3a1,数列{an}是等差数列, 所以公差d=a2-a1=2a1, 所以Sn=na1+d=n2a1,即=n, 因为-=(n+1)-n=, 所以{}是等差数列. 【拆解3】已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,数列{}是等差数列,a2=3a1.求证:数列{an}是等差数列. 【解析】设=an+b(a>0),则Sn=(an+b)2, 当n=1时,a1=S1=(a+b)2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an+b)2-(an-a+b)2=a(2an-a+2b). 因为a2=3a1,所以a(3a+2b)=3(a+b)2,解得b=0或b=-. 当b=0时,a1=a2,an=a2(2n-1)(n≥2);当n≥2时,an-an-1=2a2满足等差数列的定义,此时数列{an}为等差数列.当b=-时,=an+b=an-a,则=-<0,不符合题意,舍去. 综上可知,数列{an}为等差数列. 小做 变式训练 在①a1+a3-2a2=0;②a2-a1=2;③S3=3a2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答. 已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=anan+1+1,________. (1)证明:数列{an}是等差数列. (2)若数列{bn}满足bn=,其前n项和为Tn,且Tn<a2对任意n∈N*恒成立,求a1的取值范围. 【拆解1】已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=anan+1+1,a1+a3-2a2=0.证明:数列{an}是等差数列. 【解析】因为4Sn=anan+1+1,所以4Sn+1=an+1an+2+1, 两式相减得4an+1=an+1an+2-anan+1, 因为an+1>0,所以an+2-an=4, 所以数列{an}的奇数项和偶数项分别成等差数列. 当n为奇数时,an=a1+4（-1）=a1+2n-2; 当n为偶数时,an=a2+4（-1）=a2+2n-4. 由a1+a3-2a2=0得a2==a1+2, 所以当n为偶数时,an=a2+2n-4=a1+2n-2. 此式也适合n为奇数的情况,所以an=a1+2n-2,n∈N*,则an+1-an=2为常数, 所以数列{an}是以2为公差的等差数列. 【拆解2】已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=anan+1+1,a2-a1=2.证明:数列{an}是等差数列. 【解析】因为4Sn=anan+1+1,所以4Sn+1=an+1an+2+1, 两式相减得4an+1=an+1an+2-anan+1, 因为an+1>0,所以an+2-an=4, 所以数列{an}的奇数项和偶数项分别成等差数列. 当n为奇数时,an=a1+4（-1）=a1+2n-2; 当n为偶数时,an=a2+4（-1）=a2+2n-4. 因为a2-a1=2,即a2=a1+2, 所以当n为偶数时,an=a2+2n-4=a1+2n-2. 此式也适合n为奇数的情况, 所以an=a1+2n-2,n∈N*,则an+1-an=2为常数, 所以数列{an}是以2为公差的等差数列. 【拆解3】已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=anan+1+1,S3=3a2.证明:数列{an}是等差数列. 【解析】因为4Sn=anan+1+1,所以4Sn+1=an+1an+2+1, 两式相减得4an+1=an+1an+2-anan+1, 因为an+1>0,所以an+2-an=4, 所以数列{an}的奇数项和偶数项分别成等差数列. 当n为奇数时,an=a1+4（-